Question

圖（甲）所示，一對(duì)金屬板M和N平行、豎直放置，M、N的中心分別有小孔P、Q，PQ連線垂直金屬板．N板右側(cè)有一半徑為r的圓形有界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其圓心O在PQ的延長(zhǎng)線上，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．置于P孔附近的粒子源連續(xù)不斷地沿PQ方向放射出質(zhì)量為m、電量為+q的帶電粒子（帶電粒子所受的重力、初速度及粒子間的相互作用力可忽略），從某一時(shí)刻開(kāi)始，在板M、N間加上如圖（乙）所示的交變電壓，其周期為T、電壓為U，t=0時(shí)M板電勢(shì)高于N板電勢(shì)．已知帶電粒子在M、N兩板間一直做加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間小于T/2，并且只有在每一個(gè)周期的前T/4時(shí)間內(nèi)放出的帶電粒子才能從小孔Q中射出，求：
（1）帶電粒子從小孔Q中射出的最大速度；
（2）M、N兩板間的距離；
（3）在沿圓形磁場(chǎng)的邊界上，有帶電粒子射出的最大弧長(zhǎng)．

Answer 1

（1）在M、N電場(chǎng)間處于一直加速的粒子從小孔Q中射出的速度最大，設(shè)從最大速度為v_m
根據(jù)動(dòng)能定理得 qU=

1

2

m

v

2m

解得：v_m=

2qU m

  
（2）設(shè)M、N兩板間距離為d，則兩板間的電場(chǎng)強(qiáng)度大小 E=

U

d

，
設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律得 qE=ma
解得：a=

qU

md

每一個(gè)周期的第一個(gè)

T

4

時(shí)刻放出的帶電粒子剛好能從小孔Q中射出，它加速和減速各經(jīng)歷

T

4

，
由d=

1

2

a(

T

4

)2×2
解得：d=

T

4

qU m

（3）每一個(gè)周期的前

T

4

時(shí)間內(nèi)放出的帶電粒子才能從小孔Q中射出，其中射出最早的粒子速度最大，越晚射出的粒子速度越小．粒子進(jìn)入磁場(chǎng)，其中速度越小者運(yùn)動(dòng)半徑越小，射出點(diǎn)離射入點(diǎn)越近，偏轉(zhuǎn)角度越大（越接近π）．最早射入者速度最大，運(yùn)動(dòng)半徑最大，偏轉(zhuǎn)角度最小，射出點(diǎn)與入射點(diǎn)所夾弧長(zhǎng)最大．
設(shè)帶電粒子以最大速度射入時(shí)在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為R，偏轉(zhuǎn)角為θ，由牛頓第二定律和幾何關(guān)系得
 Bqv=m

v2

R

 tan

θ

2

=

r

R

解得：θ=2arctanBr

q 2mU

設(shè)沿圓形磁場(chǎng)邊界上有帶電粒子射出的最大弧長(zhǎng)為s（圖中實(shí)線部分），根據(jù)弧長(zhǎng)公式
s=r（π-θ）=r（π-2arctanBr

q 2mU

）
答：
（1）帶電粒子從小孔Q中射出的最大速度為

2qU m

；
（2）M、N兩板間的距離為

T

4

qU m

；
（3）在沿圓形磁場(chǎng)的邊界上，有帶電粒子射出的最大弧長(zhǎng)為r（π-2arctanBr

q 2mU

）．