Question

12．“嫦娥一號”在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，準確進入預定軌道．隨后，“嫦娥一號”經(jīng)過變軌和制動成功進入環(huán)月軌道．如圖所示，陰影部分表示月球，設想飛船在圓形軌道Ⅰ上作勻速圓周運動，在圓軌道Ⅰ上飛行n圈所用時間為t到達A點時經(jīng)過暫短的點火變速，進入橢圓軌道Ⅱ，在到達軌道Ⅱ近月點B點時再次點火變速，進入近月圓形軌道Ⅲ，而后飛船在軌道Ⅲ上繞月球作勻速圓周運動，在圓軌道Ⅲ上飛行n圈所用時間為$\frac{t}{8}$．不考慮其它星體對飛船的影響，求：
（1）月球的平均密度是多少？
（2）飛船從軌道Ⅱ上遠月點A運動至近月點B所用的時間．
（3）如果在Ⅰ、Ⅲ軌道上有兩只飛船，它們繞月球飛行方向相同，某時刻兩飛船相距最近（兩飛船在月球球心的同側，且兩飛船與月球球心在同一直線上），則經(jīng)過多長時間，他們又會相距最近？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力求得中心天體質量，再根據(jù)密度公式求得密度；
（2）根據(jù)開普勒行星定律由半長軸的關系求得周期，從遠月點飛到近月點所用時間為橢圓軌道的$\frac{1}{2}$周期；
（3）相距最近時，兩飛船中運得快的比運動得慢的多繞月飛行n周，根據(jù)角速度關系求解所用時間即可．

解答 解：（1）在圓軌道Ⅲ上的周期：
T₃=$\frac{t}{8n}$…①
由萬有引力提供向心力有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}_{3}^{2}}$…②
又：M=$ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$…③
聯(lián)立得：$ρ=\frac{3π}{G{T}_{3}^{2}}$=$\frac{192π{n}^{2}}{G{t}^{2}}$…④
（2）設飛船在軌道I上的運動周期為T₁，在軌道I有：$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$…⑤
又：${T}_{1}=\frac{t}{n}$…⑥
聯(lián)立①②⑤⑥得：r=4R
設飛船在軌道II上的運動周期T₂，而軌道II的半長軸為：$b=\frac{r+R}{2}$=2.5R…⑦
根據(jù)開普勒定律得：
$\frac{{T}_{2}^{2}}{{（2.5R）}^{3}}=\frac{{T}_{3}^{2}}{{（4R）}^{3}}$…⑧
可解得：T₂=0.494T₃
所以飛船從A到B的飛行時間為：$t=\frac{{T}_{2}}{2}=\frac{0.247t}{n}$
（3）設飛船在軌道I上的角速度為ω₁、在軌道III上的角速度為ω₃，有：${ω}_{1}=\frac{2π}{{T}_{1}}$
所以${ω}_{3}=\frac{2π}{{T}_{3}}$
設飛飛船再經(jīng)過t時間相距最近，有：
ω₃t′-ω₁t′=2mπ
所以有：t=$\frac{mt}{7n}$（m=1，2，3…）
答：（1）月球的平均密度是$\frac{192π{n}^{2}}{G{t}^{2}}$．
（2）飛船從軌道Ⅱ上遠月點A運動至近月點B所用的時間為$\frac{0.247t}{n}$．
（3）則經(jīng)$\frac{mt}{7n}$（m=1，2，3…），他們又會相距最近．

點評 本題主要考查萬有引力定律的應用，開普勒定律的應用．同時根據(jù)萬有引力提供向心力列式計算．