Question

如圖所示，火箭栽著宇宙探測(cè)器飛向某行星，火箭內(nèi)平臺(tái)上還放有測(cè)試儀器．火箭從地面起飛時(shí)，以加速度豎直向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)（g為地面附近的重力加速度），已知地球半徑為R．
（1）到某一高度時(shí)，測(cè)試儀器對(duì)平臺(tái)的壓力是剛起飛時(shí)壓力的，求此時(shí)火箭離地面的高度h．
（2）探測(cè)器與箭體分離后，進(jìn)入行星表面附近的預(yù)定軌道，進(jìn)行一系列科學(xué)實(shí)驗(yàn)和測(cè)量，若測(cè)得探測(cè)器環(huán)繞該行星運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，試問(wèn)：該行星的平均密度為多少？（假定行星為球體，且已知萬(wàn)有引力恒量為G）

Answer 1

【答案】分析：1、以測(cè)試儀器為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律求出某一高度處的重力加速度，再由重力等于萬(wàn)有引力，代入數(shù)據(jù)求解火箭離地面的高度．
2、現(xiàn)根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，求出行星的質(zhì)量，再根據(jù)密度的定義式，計(jì)算密度．
解答：解：（1）火箭剛起飛時(shí)，以測(cè)試儀為研究對(duì)象，受地球引力mg、平臺(tái)的支持力N₁，有：


根據(jù)牛頓第三定律，起飛時(shí)測(cè)試儀器對(duì)平臺(tái)的壓力大小為．
設(shè)火箭離地高為h時(shí)，平臺(tái)對(duì)測(cè)試儀器的支持力為N₂，則有：，其中G為萬(wàn)有引力恒量，M為地球質(zhì)量．
在地面附近，有：
則：
于是得到：
（2）設(shè)行星質(zhì)量為M，行星平均密度為ρ，
又有：
得：．
答（1）到某一高度時(shí)，測(cè)試儀器對(duì)平臺(tái)的壓力是剛起飛時(shí)壓力的，此時(shí)火箭離地面的高度h為．
（2）探測(cè)器與箭體分離后，進(jìn)入行星表面附近的預(yù)定軌道，進(jìn)行一系列科學(xué)實(shí)驗(yàn)和測(cè)量，若測(cè)得探測(cè)器環(huán)繞該行星運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，則該行星的平均密度為．
點(diǎn)評(píng)：本題中g(shù)=稱(chēng)為黃金代換式，反映了重力加速度與高度的關(guān)系，可根據(jù)重力與萬(wàn)有引力推導(dǎo)出來(lái)的．