Question

如圖甲所示，兩平行金屬板間接有如圖乙所示的隨時間t變化的交流電壓u，金屬板間電場可看做均勻、且兩板外無電場，板長L=0.2m，板間距離d=0.1m，在金屬板右側(cè)有一左邊界為MN的區(qū)域足夠大的勻強磁場，MN與兩板中線OO′垂直，磁感應(yīng)強度 B=5×10^-3T，方向垂直紙面向里．現(xiàn)有帶正電的粒子流沿兩板中線OO′連續(xù)射入電場中，已知每個粒子的速度v₀=10⁵m/s，比荷

q

m

=10⁸C/kg，重力忽略不計，在每個粒子通過電場區(qū)域的極短時間內(nèi)，電場可視為恒定不變．求：
（1）垂直邊界MN進(jìn)入磁場的帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑；
（2）為了使射入電場的帶電粒子全部進(jìn)入磁場，交變電壓的最大值u_m和粒子進(jìn)入磁場的最大速度；
（3）所有進(jìn)入磁場的帶電粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后從邊界MN上哪個范圍離開磁場的．

Answer 1

分析：（1）有洛倫茲力提供向心力求出帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑．
（2）將帶電粒子的運動沿著水平方向和豎直方向正交分解，水平方向為勻速運動，豎直方向為初速度為零的勻加速運動，根據(jù)運動學(xué)公式列式求解；
帶電粒子從平行板邊緣射出時，電場力做功最多，獲得的動能最大，根據(jù)動能定理列式求解；
（3）經(jīng)過電場偏轉(zhuǎn)后，粒子速度向上偏轉(zhuǎn)或向下偏轉(zhuǎn)，畫出可能的軌跡圖，根據(jù)洛倫茲力提供向心力得到軌道半徑，通過幾何關(guān)系求解．

解答：解：（1）帶電粒子垂直邊界MN進(jìn)入磁場時，v=v₀：
Bqv=m

v 2 0

R

 R=

mv0

Bq

=0.2m
（2）帶電粒子恰好從極板邊緣射出電場時，偏轉(zhuǎn)電壓應(yīng)為u_m：

d

2

=

1

2

at2  
a=

Eq

m

=

Umq

dm

    
 t=

l

v0

u_m=25V
帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場時速度最大，設(shè)最大速度為v_m，由動能定理

qUm

2

=

1

2

m

v

2 m

-

1

2

m

v

2 0

vm=5

5

×104m/s
（3）設(shè)粒子進(jìn)入磁場時速度方向與OO'的夾角為θ
則任意時刻粒子進(jìn)入磁場的速度大小v=

v0

cosθ

粒子在磁場中做圓周運動的軌道半徑為R
R=

mv

qB

=

mv0

qBcosθ

設(shè)帶電粒子從磁場中飛出的位置與進(jìn)入磁場的位置之間的距離為l
l=2Rcosθ=

2mv0

qB

=0.4m            
由上式可知，射出電場的任何一個帶電粒子，進(jìn)入磁場時的入射點與射出磁場時的出射點間距離為定值，
l與θ無關(guān)，與所加電壓值無關(guān)．        
考慮粒子在電場中向上（設(shè)沿M方向為向上）或向下兩種偏轉(zhuǎn)可能，設(shè)粒子離開磁場時在點的上方且距離點為Y的位置，則：
Y=l+

1

2

at2=l+

UqL2

2md v 2 0

當(dāng)粒子在兩板間受到向上電場力作用時，Y的范圍為0.40m～0.45m
當(dāng)粒子在兩板間受到向下電場力作用時，Y的范圍為0.35m～0.40m
所以粒子在邊界MN上距點上方0.35m～0.45m范圍內(nèi)離開磁場的．
答：（1）垂直邊界MN進(jìn)入磁場的帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑是0.2m；
（2）為了使射入電場的帶電粒子全部進(jìn)入磁場，交變電壓的最大值是25V，粒子進(jìn)入磁場的最大速度是5

5

×104m/s；
（3）粒子在邊界MN上距點上方0.35m～0.45m范圍內(nèi)離開磁場的．

點評：本題關(guān)鍵是畫出粒子進(jìn)入磁場后的各種可能的運動軌跡，根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式后得出半徑，然后求出磁偏轉(zhuǎn)的距離表達(dá)式，并得出回旋角度的范圍，從而得到磁偏轉(zhuǎn)的范圍．