Question

從陰極K發(fā)射的電子（電荷量為e=1.60×10^-19 C，質(zhì)量約為m=1×10^-30 Kg），經(jīng)電勢(shì)差U₀=5000V的陽(yáng)極加速后，沿平行于板面的方向從中央射入兩塊長(zhǎng)L₁=10cm、間距d=4cm的平行金屬板A、B之間，在離金屬板邊緣L₂=75cm處放置一個(gè)直徑D=20cm、帶有記錄紙的圓筒．整個(gè)裝置放在真空內(nèi)，電子發(fā)射的初速度不計(jì)．若在兩金屬板上加以U₂=1000cos2πtV的交變電壓，并使圓筒繞中心軸如圖所示方向以n=2r/s勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，試求：
（1）電子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的初速度v₀．
（2）電子在紙筒上的最大偏轉(zhuǎn)距離．
（3）確定電子在記錄紙上的軌跡形狀并畫出1s內(nèi)所記錄到的圖形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理求出電子加速后的入射速度．
（2）電子在AB板間做類平拋運(yùn)動(dòng)，在BD間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)合求得電子飛離金屬板時(shí)的豎直偏轉(zhuǎn)距離y₁和豎直方向的分速度v_y，由勻速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求得電子從飛離金屬板到達(dá)圓筒時(shí)的偏距y₂，在紙筒上的落點(diǎn)對(duì)入射方向的總偏距為y=y₁+y₂．
（3）根據(jù)上題的結(jié)論得到在記錄紙上的點(diǎn)以振幅和周期，由于記錄紙上的點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，因?yàn)閳A筒每秒轉(zhuǎn)2周，故可畫出在1 s內(nèi)紙上的圖形．

解答：解：（1）動(dòng)能定理得：eU₀=

1

2

mv₀²
得電子加速后的速度：v₀=

2eU0 m

=4.0×10⁷ m/s
（2）電子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后，由于在其中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間極短，可以忽略運(yùn)動(dòng)期間偏轉(zhuǎn)電壓的變化，認(rèn)為電場(chǎng)是穩(wěn)定的，因此
電子做類平拋的運(yùn)動(dòng)．如右圖所示．
交流電壓在A、B兩板間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度E=

U2

d

=2.5×10⁴cos2πt V/m
電子飛離金屬板時(shí)的偏轉(zhuǎn)距離y₁=

1

2

at₁²=

1

2

eE

m

?

L 2 1

v0

=0.0125 m
電子飛離金屬板時(shí)的豎直速度v_y=at₁=

eE

m

?

L1

v0

電子從飛離金屬板到到達(dá)圓筒時(shí)的偏轉(zhuǎn)距離y₂=v_yt₂=

eEL1L2

m v 2 0

所以在紙筒上的落點(diǎn)對(duì)入射方向的總偏轉(zhuǎn)距離為ym=y1+y2=(

L1

2

+L2)=(

L1

2

+L2)

eEL1

m v 2 0

=(

L1

2

+L2)

L1U2

2dU0

=0.20 m
（3）y_t=0.2cos2πt m
可見，在記錄紙上的點(diǎn)在豎直方向上以振幅0.20 m、周期T=1 s做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．因?yàn)閳A筒每秒轉(zhuǎn)2周，故轉(zhuǎn)一周在紙上留下的是前半個(gè)余弦圖形，接著的一周中，留下后半個(gè)圖形，合起來(lái)1 s內(nèi)，記錄在紙上的圖形如右圖所示．

答：（1）電子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的初速度4.0×10⁷ m/s．
（2）電子在紙筒上的最大偏轉(zhuǎn)距離為0.20m．
（3）確定電子在記錄紙上的軌跡形狀并畫出1s內(nèi)所記錄到的圖形如圖．

點(diǎn)評(píng)：本題粒子電子在組合電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，分析電子的運(yùn)動(dòng)情況，運(yùn)用動(dòng)能定理和運(yùn)動(dòng)的分解進(jìn)行研究是關(guān)鍵．