Question

18．如圖所示的“S”型玩具軌道，該軌道是用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)圓管彎成，放置在豎直平面內(nèi)，軌道彎曲部分是由兩個(gè)半徑相等的半圓對(duì)接而成，圓半徑比細(xì)管內(nèi)徑大得多，軌道底端與水平地面相切，軌道在水平方向不可移動(dòng)，彈射裝置將一個(gè)小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從a點(diǎn)水平彈射出，以速度v₀從b點(diǎn)進(jìn)入軌道，經(jīng)過軌道后從最高點(diǎn)d水平拋出（拋出后小球不會(huì)再碰軌道），不計(jì)其它機(jī)械能損失，圓的半徑R=0.2m，小球質(zhì)量m=0.01kg，玩具軌道質(zhì)量為M=0.27kg，g=10m/s²，求：
（1）若v₀=5m/s，小球從最高點(diǎn)d拋出后的水平射程；
（2）若v₀=5m/s，小球經(jīng)過軌道的最高點(diǎn)d時(shí)，管道對(duì)小球作用力的大小和方向；
（3）設(shè)小球進(jìn)入軌道之前，軌道對(duì)地面的壓力大小等于軌道自身的重力，那么當(dāng)小球經(jīng)過兩半圓的對(duì)接處c點(diǎn)時(shí)，要使軌道對(duì)地面的壓力為零，v₀至少為多大？

Answer 1

分析 （1）對(duì)a到d全過程運(yùn)用動(dòng)能定理求出運(yùn)動(dòng)到d點(diǎn)速度，離開d點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)高度求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求出水平位移．
（2）在d點(diǎn)小球受重力和管道對(duì)小球的作用力，根據(jù)兩個(gè)力的合力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，求出管道對(duì)小球作用力的大小和方向．
（3）當(dāng)小球在c點(diǎn)對(duì)軌道向上的作用力等于軌道自身的重力時(shí)，軌道對(duì)地面的壓力為0，根據(jù)軌道對(duì)小球的作用力和重力的合力提供向心力，求出在c點(diǎn)的速度，再根據(jù)動(dòng)能定理求出v₀的大�。�

解答 解：（1）對(duì)a到d全過程運(yùn)用動(dòng)能定理：-μmgL-4mgR=$\frac{1}{2}$mv_d²-$\frac{1}{2}$mv₀²．
v_d=3m/s．
小球離開d點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，4R=$\frac{1}{2}$gt²，解得：t=$\sqrt{\frac{2（4R）}{g}}$=0.4s
水平射程x=v_dt=1.2m．
（2）在d點(diǎn)有：mg+F=m$\frac{{v}_cvuw7o2^{2}}{R}$
F=0.35N．管道對(duì)小球的作用力方向向下．
（3）當(dāng)小球在c點(diǎn)對(duì)軌道向上的作用力等于軌道自身的重力時(shí)，軌道對(duì)地面的壓力為0．
有N+mg=m $\frac{{v}_{c}^{2}}{R}$
N=Mg
根據(jù)動(dòng)能定理得：
-μmgL-2mgR=$\frac{1}{2}$mv_c²-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立解得：
v₀=8m/s．
答：（1）若v₀=5m/s，小球從最高點(diǎn)d拋出后的水平射程為1.2m；
（2）若v₀=5m/s，小球經(jīng)過軌道的最高點(diǎn)d時(shí)，管道對(duì)小球作用力的大小為0.35N，方向向下；
（3）當(dāng)小球經(jīng)過兩半圓的對(duì)接處c點(diǎn)時(shí)，要使軌道對(duì)地面的壓力為零，v₀至少為8m/s．

點(diǎn)評(píng) 該題為動(dòng)能定理與圓周運(yùn)動(dòng)的結(jié)合的綜合題，解決本題的關(guān)鍵掌握動(dòng)能定理，以及知道做圓周運(yùn)動(dòng)沿半徑方向的合力提供向心力．