Question

15．如圖所示，光滑水平面上有一質(zhì)量M的平板車，車的上表面是一段粗糙水平軌道，水平軌道左側(cè)連一半徑R的四分之一光滑圓弧軌道，圓弧軌道與水平軌道在點(diǎn)O′處相切．現(xiàn)將一質(zhì)量m的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從平板車的右端以水平向左的初速度v₀滑上平板車，小物塊恰能到達(dá)圓弧軌道的O′處．求：
（1）小物塊到達(dá)圓弧軌道的O′處時(shí)平板車速度v的大�。�
（2）在上述過程中，小物塊與平板車組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能
（3）要使小物塊能到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)A，小物塊進(jìn)入平板車的速度v'應(yīng)多大？

Answer 1

分析 （1）平板車和小物塊組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，小物塊恰能到達(dá)圓弧軌道的O′處時(shí)兩者的速度相同，由動(dòng)量守恒定律求解；
（2）利用能量守恒定律可以求出系統(tǒng)損失的機(jī)械能．
（3）小物塊恰好能到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)A時(shí)兩者的速度相同，根據(jù)系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒和能量守恒列式，可求得小物塊進(jìn)入平板車的速度v'．

解答 解：（1）平板車和小物塊組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，取水平向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律得
  mv₀=（M+m）v
得 v=$\frac{m}{M+m}$v₀．
（2）小物塊與平板車組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能為
△E=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$（M+m）v²=$\frac{mM{v}_{0}^{2}}{2（M+m）}$
（3）平板車和小物塊組成的系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒，設(shè)小物塊到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)A時(shí)，它們的共同速度為v₁
根據(jù)動(dòng)量守恒定律有 mv'=（M+m）v₁                          ①
根據(jù)能量守恒定律有 $\frac{1}{2}$mv'²-$\frac{1}{2}$（M+m）v₁²=mgR+△E            ②
聯(lián)立解得 v′=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2（m+M）gR}{M}}$
答：
（1）小物塊到達(dá)圓弧軌道的O′處時(shí)平板車速度v的大小是$\frac{m}{M+m}$v₀；
（2）在上述過程中，小物塊與平板車組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能為$\frac{mM{v}_{0}^{2}}{2（M+m）}$．
（3）要使小物塊能到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)A，小物塊進(jìn)入平板車的速度v'應(yīng)為$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2（m+M）gR}{M}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒和能量守恒的問題，要抓住兩種情況機(jī)械能的損失是相同的，要注意第二種情形系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，但總動(dòng)量不守恒．