Question

19．如圖所示，傾角為θ的固定粗糙斜面上有一物塊A，物塊到斜面底端的高度為h，緊靠斜面底端有一長為L的長木板B停放在光滑的水平面上，斜面底端剛好與長木板上表面左端接觸，長木板上表面粗糙，右端與-$\frac{1}{4}$圓弧面C粘接在一起，圓弧面左端與木板平滑相接，現(xiàn)釋放物塊A讓其從斜面上滑下．圓弧面表面光滑，圓弧面的半徑為R，物塊與斜面長木板表面的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，A、B、C三者的質(zhì)量相等，重力加速度大小為g，不計(jì)物塊A從斜面滑上木板時(shí)的機(jī)械能損失．
（1）求物塊A到達(dá)斜面底端時(shí)的速度大小v；
（2）改變物塊A由靜止釋放的位置，若物塊A恰好能滑到圓弧面C的最高點(diǎn)，求其開始下滑時(shí)到斜面底端的高度h₁
（3）在（2）中情況下，求物塊A從圓弧面最高點(diǎn)返回后停留在長木板B上的位置到長木板右端的距離s （設(shè)物塊A不會(huì)從長木板B的左端滑下）．

Answer 1

分析 （1）由動(dòng)能定理求物塊A到達(dá)斜面底端時(shí)的速度大小v；
（2）先由動(dòng)能定理求出物塊A到達(dá)斜面底端時(shí)的速度表達(dá)式．物塊A恰好能滑到圓弧面C的最高點(diǎn)時(shí)，A與C的速度相同．由A、B、C系統(tǒng)的水平動(dòng)量守恒和能量守恒結(jié)合求高度h₁．
（3）最終物塊A停留在長木板B上，由水平動(dòng)量守恒列式，求出最終三者的共同速度．再由能量守恒列式求s．

解答 解：（1）物塊A在斜面上下滑的過程，由動(dòng)能定理得：
mgh-μmgcosθ•$\frac{h}{sinθ}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{2gh-\frac{2μgh}{tanθ}}$
（2）當(dāng)物塊開始下滑時(shí)到斜面底端的高度h₁時(shí)，物塊A在斜面上下滑的過程，由動(dòng)能定理得：
mgh₁-μmgcosθ•$\frac{{h}_{1}}{sinθ}$=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得：v₁=$\sqrt{2g{h}_{1}-\frac{2μg{h}_{1}}{tanθ}}$
設(shè)物塊A滑到圓弧面C的最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為v₂，取向右為正方向，由水平動(dòng)量守恒得：
mv₁=3mv₂．
由功能關(guān)系有：μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$×3mv₂²-mgR
解得：h₁=$\frac{3（μL+R）tanθ}{2（tanθ-μ）}$
（3）經(jīng)分析可知，當(dāng)物塊A最終停留在長木板B上時(shí)，物塊、木板和圓弧面具有共同的速度，設(shè)為v₃．根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
mv₁=3mv₃．
上式中 v₁=$\sqrt{2g{h}_{1}-\frac{2μg{h}_{1}}{tanθ}}$，且 h₁=$\frac{3（μL+R）tanθ}{2（tanθ-μ）}$
由功能關(guān)系有：μmg（L+s）=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}•3m{v}_{3}^{2}$
解得：s=$\frac{R}{μ}$
答：（1）物塊A到達(dá)斜面底端時(shí)的速度大小v是$\sqrt{2gh-\frac{2μgh}{tanθ}}$；
（2）改變物塊A由靜止釋放的位置，若物塊A恰好能滑到圓弧面C的最高點(diǎn)，其開始下滑時(shí)到斜面底端的高度h₁是$\frac{3（μL+R）tanθ}{2（tanθ-μ）}$．
（3）物塊A從圓弧面最高點(diǎn)返回后停留在長木板B上的位置到長木板右端的距離s是$\frac{R}{μ}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵是要把握功與能的關(guān)系，挖掘隱含的臨界條件：物塊到達(dá)C的最高點(diǎn)時(shí)三個(gè)物體的速度相等．最終物塊A停留在B上時(shí)三者速度又相同．