Question

13．“嫦娥四號”（專家稱為“四號星”），計劃在今年發(fā)射升空，它是嫦娥探月工程計劃中嫦娥系列的第四顆人造探月衛(wèi)星，主要任務(wù)是更加全面、深層次地科學(xué)探測月球地貌、資源等方面的信息．如圖所示，若“四號星”在半徑為r的圓周軌道上繞月運行，t時間內(nèi)通過的弧長為s．已知引力常量為G，月球表面的重力加速度為g_月，下列說法正確的是（　�。�

• A． 月球的第一宇宙速度為$\sqrt{{g}_{月}r}$
• B． 可算出月球質(zhì)量為$\frac{{s}^{2}r}{G{t}^{2}}$
• C． “四號星”的角速度為$\sqrt{\frac{{g}_{月}}{r}}$
• D． “四號星”的周期為2π$\sqrt{\frac{r}{{g}_{月}}}$

Answer 1

分析 首先由月球表面做勻速圓周運動的物體求得第一宇宙速度；然后根據(jù)“四號星”的周期求得月球質(zhì)量及角速度．

解答 解：A、月球表面物體以萬有引力做向心力做圓周運動的速率即為月球的第一宇宙速度，故設(shè)月球質(zhì)量為M，半徑為R，則有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{月}=\frac{m{v}^{2}}{R}$；所以，$v=\sqrt{{g}_{月}R}$，故A錯誤；
B、若“四號星”在半徑為r的圓周軌道上繞月運行，t時間內(nèi)通過的弧長為s，故周期$T=\frac{2πr}{s}t$；
又有萬有引力做向心力，所以，$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m{ω}^{2}r=m（\frac{2π}{T}）^{2}r$，所以，$M=（\frac{2π}{T}）^{2}\frac{{r}^{3}}{G}=（\frac{s}{rt}）^{2}\frac{{r}^{3}}{G}=\frac{{s}^{2}r}{G{t}^{2}}$，故B正確；
CD、由B可得“四號星”的角速度$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}=\sqrt{\frac{{g}_{月}{R}^{2}}{{r}^{3}}}$，$T=\frac{2π}{ω}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{{g}_{月}{R}^{2}}}$故CD錯誤；
故選：B．

點評 萬有引力的應(yīng)用問題，一般由萬有引力做向心力求解速度、角速度、周期與半徑的關(guān)系．