Question

如下圖所示，一排人站在沿x軸的水平軌道旁，原點(diǎn)O兩側(cè)的人的序號(hào)都為n（n=1、2、3、……）。每人只有一個(gè)沙袋。x>0一側(cè)的每個(gè)沙袋質(zhì)量為m=14kg,x<0一側(cè)的每個(gè)沙袋質(zhì)量為m'=10kg。一質(zhì)量為M=48kg的小車以某初速度從原點(diǎn)出發(fā)向正x方向滑行。不計(jì)軌道阻力。當(dāng)車每經(jīng)過(guò)一人身旁時(shí)，此人就把沙袋以水平速度u朝與車速相反的方向沿車面扔到車上，u的大小等于扔此袋之前的瞬間車速大小的2n倍（n是此人的序號(hào)數(shù)）。

　�。�1）空車出發(fā)后，車上堆積了幾個(gè)沙袋時(shí)就反向滑行？

　�。�2）車上最終有大小沙袋共多少個(gè)？

　　

Answer 1

  （1）3個(gè)；　�。�2）11個(gè)

 

解析:

　　

　　解析1：

　　本題的主要理論依據(jù)是動(dòng)量守恒定律，同時(shí)結(jié)合推理過(guò)程的數(shù)學(xué)歸納法及解不等式。

　　（1）

　　當(dāng)向右經(jīng)過(guò)第1個(gè)人時(shí)有：Mv₀-m(2×1×v₀)=(M+1m)v₁

　　經(jīng)過(guò)第2個(gè)人時(shí)有：(M+1m)v₁-m(2×2×v₁)=(M+2m)v₂

　　經(jīng)過(guò)第3個(gè)人時(shí)有：(M+2m)v₂-m(2×3×v₂)=(M+3m)v₃

　　按數(shù)學(xué)歸納法，經(jīng)過(guò)第n個(gè)人時(shí)有：[M+(n-1)m]v_n-1-m(2nv_n-1)=(M+nm)v_n

　　解之：v_n= 　 　　　　　　　　　　(1)

　　仍照（1）式，可以推出：v_n-1= 　　 (2)

　　小車反向運(yùn)動(dòng)的條件是：v _n-1>0,v_n<0

　　即：M-nm>0,M-(n+1)m<0

　　代入數(shù)字，得：n< , n>

　　n應(yīng)為整數(shù)，故n=3，即車上堆積3個(gè)沙袋后車就反向滑行。

　�。�2）當(dāng)車上放著3個(gè)沙袋，以某一速度設(shè)v'₀，向左滑行時(shí)，其物理過(guò)程，除最初的質(zhì)量為M+3m，初速為v'₀外完全相同，仍可依照（1）式的結(jié)論，推出：v'_n= 及v'_n-1=

　　車不再向左滑行的條件是：v'_n-1>0, v'_n≤0，

　　即 M-3m-nm'>0；M+3m-(n+1)m'≤0，

　　代入數(shù)字：n<

　　n≥ ，8≤n<9。

　　n=8時(shí)，車停止滑行，即在 —側(cè)共有8個(gè)沙袋，拋到車上車就停止運(yùn)動(dòng)，所以最終車上共有沙袋：3+8=11個(gè)。

　　解析2：

　�。�1）

　　設(shè)小車在朝x正向滑行過(guò)程中，第n-1個(gè)沙袋扔上后車速為v_n-1,第n個(gè)沙袋扔上后車速為v_n，由動(dòng)量守恒定律得：

　　[48+14(n-1)]v_n-1-14×2nv_n-1=(48+14n)v_n

　　即v_n=[48-14(n+1)]v_n-1/(48+14n)

　　要使小車反向運(yùn)動(dòng)，必須v_n-1>0,v_n<0

　　∴

　　解此不等式組是2.4<n<3.4

　　又因?yàn)閚為整數(shù)，故n=3,即車上堆積3個(gè)沙袋時(shí)，車就反向運(yùn)動(dòng)。

　　（2）

　　車反向運(yùn)動(dòng)時(shí)，車的質(zhì)量變?yōu)镸+3m=90kg，設(shè)反向滑行中第n'-1個(gè)沙袋扔到車上后車速為v'_n-1，第n個(gè)沙袋扔到車上后車速v'_n,由動(dòng)量守恒定律得：

　　[90+10(n'-1)]n_n-1-10×2n'v'_n-1=(90+10n')v'_n

　　∴v'_n=[90-10(n'+1)]v'_n-1/(90+10n')

　　車不再向左滑行時(shí)，必須滿足v'_n-1<0,v'_n≥0

　　∴

　　解此不等式組得8≤n'<9。

　　n'=8時(shí)，v'_n=0,車停止滑行，即x<0一側(cè)第8個(gè)沙袋扔到車后上就停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)車上共有沙袋個(gè)數(shù)為n+n'=11個(gè)。

　　解析3：

　�。�1）

　　設(shè)扔第n個(gè)沙袋后車反向滑行，則第n個(gè)沙袋扔上車前的動(dòng)量大小應(yīng)大于此時(shí)車的動(dòng)量大小。

　　即14×2nv_n-1>[48+14(n-1)]v_n-1

　　解得n>2.4，又n為整數(shù)，故n=3，即車上堆積3個(gè)沙袋后車就反向運(yùn)動(dòng)。

　�。�2）

　　同解析1或解析2

　　說(shuō)明：

　　上述三種解法中，對(duì)解析1是突出了物理過(guò)程，對(duì)每一個(gè)過(guò)程列出分過(guò)程式，最后得到通式。對(duì)解析2是找出了車反向運(yùn)動(dòng)的條件，直接列出通式。而解析3是比較沙袋和車的動(dòng)量大小，得出了車反向運(yùn)動(dòng)的條件。思考問(wèn)題的角度不同，但最后是殊途同歸。

　　不論哪個(gè)解法，需研究每個(gè)已知條件對(duì)于解題的作用，抓主要矛盾，明確關(guān)鍵所在，集中精力突破。從“當(dāng)車經(jīng)過(guò)一人身旁時(shí)，此人就把沙袋以水平速度u朝與車速相反的方向沿車面反作用到車上，設(shè)u的大小等于此沙袋之前的瞬間車速大小的2n倍�！边@句話可以知道：車從序號(hào)為n-1的人身旁以v_n-1的速度駛向序號(hào)為n人身旁，車上已有n-1個(gè)沙袋，而車從接受了第n個(gè)沙袋到從序號(hào)為n的人身旁離開(kāi)的過(guò)程中，車及車上的沙袋動(dòng)量守恒，可列方程：

　　[48+14(n-1)]v_n-1-14×2nv_n-1=(48+14n)v_n

　　許多學(xué)生列出這個(gè)方程，但不知所措。其實(shí)只要仔細(xì)審題，反復(fù)體會(huì)“車反向滑行”這幾個(gè)字便可發(fā)現(xiàn)，使車反向滑行的條件是：v_n-1>0,v_n<0。這便是本題的關(guān)鍵所在，突破了這個(gè)關(guān)鍵，解決問(wèn)題就易如反掌了。