Question

（20分）如圖所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上。在xOy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。在圓的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m、電荷量q（q>0）和初速度v的帶電微粒。發(fā)射時(shí)，這束帶電微粒分布在0<y<2R的區(qū)間內(nèi)。已知重力加速度大小為g。

（1）從A點(diǎn)射出的帶電微粒平行于x軸從C點(diǎn)進(jìn)入有磁場(chǎng)區(qū)域，并從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸負(fù)方向離開(kāi)，求電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向。
（2）請(qǐng)指出這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域，并說(shuō)明理由。
（3）若這束帶電微粒初速度變?yōu)?v，那么它們與x軸相交的區(qū)域又在哪里？并說(shuō)明理由。

Answer 1

（1），方向沿y軸正方向。，方向垂直xOy平面向外。
（2）這束帶電微粒都是通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)后離開(kāi)磁場(chǎng)的。理由見(jiàn)解析。
（3）這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域范圍是。

（1）帶電微粒平行于x軸從C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，說(shuō)明帶電微粒所受重力和電場(chǎng)力的大小相等，方向相反。設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，由
mg=qE
可得電場(chǎng)強(qiáng)度大小

方向沿y軸正方向。
帶電微粒進(jìn)人磁場(chǎng)后受到重力、電場(chǎng)力和洛侖茲力的作用。由于電場(chǎng)力和重力相互抵消，它將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如圖(a)所示，考慮到帶電微粒是從C點(diǎn)水平進(jìn)入磁場(chǎng)，過(guò)O點(diǎn)后沿y軸負(fù)方向離開(kāi)磁場(chǎng)，可得圓周運(yùn)動(dòng)半徑
r=R
設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，由
   可得磁感應(yīng)強(qiáng)度大小
   方向垂直xOy平面向外。

（2）這束帶電微粒都通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。
理由說(shuō)明如下：
方法一：從任一點(diǎn)P水平進(jìn)人磁場(chǎng)的帶電微粒在磁場(chǎng)中做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心位于其正下方的Q點(diǎn)，如圖(b)所示。這樣，這束帶電微粒進(jìn)入磁場(chǎng)后的圓心軌跡是如圖所示的虛線半圓，此半圓的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)。所以，這束帶電微粒都是通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)后離開(kāi)磁場(chǎng)的。
方法二：從任一點(diǎn)P水平進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電微粒在磁場(chǎng)中做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如圖(b)所示，設(shè)P點(diǎn)與0´點(diǎn)的連線與y軸的夾角為，其圓周運(yùn)動(dòng)的圓心Q的坐標(biāo)為(-Rsin，Rcos)，圓周運(yùn)動(dòng)軌跡方程為

而磁場(chǎng)邊界是圓心坐標(biāo)為(0，R)的圓周，其方程為

解上述兩式，可得帶電微粒做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡與磁場(chǎng)邊界的交點(diǎn)為
或
坐標(biāo)為(-Rsin，R(1+cos))的點(diǎn)就是P點(diǎn)，須舍去。由此可見(jiàn)，這束帶電微粒都是通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)后離開(kāi)磁場(chǎng)的。
（3）這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域是x>0。
理由說(shuō)明如下：
帶電微粒初速度大小變?yōu)?v，則從任一點(diǎn)P水平進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電微粒在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r´為
r´=
帶電微粒在磁場(chǎng)中經(jīng)過(guò)一段半徑為的圓弧運(yùn)動(dòng)后，將在軸的右方(區(qū)域)離開(kāi)磁場(chǎng)并做勻速直線運(yùn)動(dòng)，如圖(c)所示�？拷�點(diǎn)發(fā)射出來(lái)的帶電微粒在穿出磁場(chǎng)后會(huì)射向x軸正方向的無(wú)窮遠(yuǎn)處：靠近點(diǎn)發(fā)射出來(lái)的帶電微粒會(huì)在靠近原點(diǎn)之處穿出磁場(chǎng)。
所以，這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域范圍是。