Question

4．如圖所示，空間有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩平行光滑金屬導(dǎo)軌水平放置，其電阻不計(jì)、間距為L(zhǎng)，左端接有電阻為R的定值電阻．一質(zhì)量為m、電阻也為R的導(dǎo)體棒與兩導(dǎo)軌接觸良好，在水平力F作用下在O位置兩側(cè)M、N間做往復(fù)運(yùn)動(dòng)．t=0時(shí)刻起導(dǎo)體棒從M位置開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)，其速度變化規(guī)律為v=v_msinωt，在O位置速度最大．
（1）寫(xiě)出定值電阻中的電流i隨時(shí)間t變化的表達(dá)式；
（2）導(dǎo)體棒從M位置開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第n次到達(dá)O位置的過(guò)程中，求定值電阻中產(chǎn)生的焦耳熱Q及水平力F做的功W；
（3）單匝線(xiàn)框在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞垂直于磁場(chǎng)的軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生電流的情形與題中導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生電流的情形類(lèi)似．試求導(dǎo)體棒從M位置第一次運(yùn)動(dòng)到O位置的過(guò)程中，通過(guò)定值電阻的電荷量q．

Answer 1

分析 （1）由導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度表達(dá)式v=v_msinωt，結(jié)合的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式E=BLv以及閉合電路歐姆定律求出電流i隨時(shí)間t變化的表達(dá)式．
（2）因回路中產(chǎn)生的是正弦式電流，求出電動(dòng)勢(shì)的最大值E_m，有效值為 E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$E_m，電流有效值為 I=$\frac{E}{r+R}$，根據(jù)焦耳定律用有效值求解焦耳熱．從t=0到t=fracπ2ω時(shí)間內(nèi)外力F所做的功將外界的能量轉(zhuǎn)化為動(dòng)能和內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求解外力做功．
（3）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量的公式結(jié)合求通過(guò)定值電阻的電荷量q．

解答 解：（1）導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為 v=v_msinωt，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：
e=BLv=BLv_msinωt
由歐姆定律得：導(dǎo)體棒中的電流為：i=$\frac{e}{2R}$
則電流i隨時(shí)間t變化的表達(dá)式為：i=$\frac{BLv_{m}}{2R}$sinωt
（2）導(dǎo)體棒中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值為：E_m=BLv_m
有效值為：E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$E_m．
通過(guò)R的電流的有效值為：I=$\frac{E}{2R}$，
電阻R產(chǎn)生的熱量為：Q=I²Rt
解得：Q=$\frac{πB^{2}L^{2}v_{m}^{2}}{16Rω}$
由功能關(guān)系可知：W=2Q+$\frac{1}{2}$mv²
解得：W=$\frac{πB^{2}L^{2}v_{m}^{2}}{8Rω}$+$\frac{1}{2}$mv_m²
（3）由題意可知：E_m=BSω
而△Φ=BS=$\frac{E_{m}}{ω}$
平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=$\frac{△Φ}{△t}$
平均感應(yīng)電流為：I=$\frac{E}{2R}$
通過(guò)定值電阻的電荷量為：q=It
聯(lián)立解得：q=$\frac{BLv_{m}}{2Rω}$
答：（1）定值電阻中的電流i隨時(shí)間t變化的表達(dá)式是i=$\frac{BLv_{m}}{2R}$sinωt；
（2）定值電阻中產(chǎn)生的焦耳熱Q是$\frac{πB^{2}L^{2}v_{m}^{2}}{16Rω}$，水平力F做的功W是$\frac{πB^{2}L^{2}v_{m}^{2}}{8Rω}$+$\frac{1}{2}$mv_m²．
（3）通過(guò)定值電阻的電荷量是$\frac{BLv_{m}}{2Rω}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)體棒切割磁感線(xiàn)與能量相結(jié)合的題目；解決本題的關(guān)鍵要建立模型，能夠把電磁感應(yīng)和功能關(guān)系結(jié)合解決問(wèn)題．知道本題是產(chǎn)生正弦交變電流的一種，求焦耳熱必須用有效值．