Question

2．在水平地面上方足夠大的真空室內(nèi)存在著勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)共存的區(qū)域，且電場(chǎng)與磁場(chǎng)的方向始終平行．在距離水平地面的某一高度處，有一個(gè)帶電量為q、質(zhì)量為m的帶負(fù)電質(zhì)點(diǎn)，以垂直于電場(chǎng)方向的水平初速度v₀進(jìn)入該真空室內(nèi)，取重力加速度為g．求：
（1）若要使帶電質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入真空室后做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)的電場(chǎng)強(qiáng)度E₁和磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小及所有可能的方向；
（2）為保證帶電質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入真空室后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，調(diào)整磁場(chǎng)和電場(chǎng)的大小和方向，仍保證電場(chǎng)與磁場(chǎng)的方向始終平行，當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度大小變?yōu)锽₂時(shí)，求此時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度E₂的大小和方向應(yīng)滿(mǎn)足的條件；
（3）若帶電質(zhì)點(diǎn)在滿(mǎn)足第（2）問(wèn)的條件下運(yùn)動(dòng)到空中某一位置M點(diǎn)時(shí)立即撤去磁場(chǎng)，此后運(yùn)動(dòng)到空中另一位置N點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，求M、N兩點(diǎn)間的豎直高度H及經(jīng)過(guò)N點(diǎn)時(shí)重力做功的功率．

Answer 1

分析 （1）帶電質(zhì)點(diǎn)在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則電場(chǎng)力與重力相平衡，而洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律即可求解．
（2）根據(jù)質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)受力平衡，從而依據(jù)幾何關(guān)系可求出電場(chǎng)強(qiáng)度大小及其方向；
（3）當(dāng)撤去磁場(chǎng)后，帶電質(zhì)點(diǎn)只受電場(chǎng)力和重力作用，在這個(gè)過(guò)程中電場(chǎng)力不做功，由機(jī)械能守恒定律可求出M、N兩點(diǎn)間的豎直高度H；由質(zhì)點(diǎn)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)將其速度分解與功率表達(dá)式相結(jié)合，從而確定經(jīng)過(guò)N點(diǎn)時(shí)重力做功的功率．

解答 解：（1）由于帶電質(zhì)點(diǎn)在重力場(chǎng)、勻強(qiáng)電場(chǎng)${E}_{1}^{\;}$和勻強(qiáng)磁場(chǎng)${B}_{1}^{\;}$共存的區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以受到的電場(chǎng)力必定與重力平衡，即$q{E}_{1}^{\;}=mg$
解得${E}_{1}^{\;}$=$\frac{mg}{q}$，由質(zhì)點(diǎn)帶負(fù)電可知${E}_{1}^{\;}$方向豎直向下
根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式：$q{v}_{0}^{\;}{B}_{1}^{\;}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：${B}_{1}^{\;}=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qR}$
磁感應(yīng)強(qiáng)度${B}_{1}^{\;}$可能為豎直向上或豎直向下
（2）磁場(chǎng)${B}_{2}^{\;}$和電場(chǎng)${E}_{2}^{\;}$方向相同時(shí)，如圖甲所示：磁場(chǎng)B和電場(chǎng)E方向相反時(shí)，如圖乙所示
 
由于帶電質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件和幾何關(guān)系可知：
$（q{v}_{0}^{\;}{B}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}$+$（q{E}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}$=$（mg）_{\;}^{2}$
解得：${E}_{2}^{\;}=\frac{1}{q}\sqrt{{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}-{q}_{\;}^{2}{v}_{0}^{2}{B}_{2}^{2}}$
圖中的θ角由$sinθ=\frac{q{v}_{0}^{\;}{B}_{2}^{\;}}{mg}$
得：$θ=arcsin\frac{q{v}_{0}^{\;}{B}_{2}^{\;}}{mg}$
即電場(chǎng)${E}_{2}^{\;}$的方向?yàn)榕c豎直方向夾角$θ=arcsin\frac{q{v}_{0}^{\;}{B}_{2}^{\;}}{mg}$，且斜向下的一切方向
或：θ=$arctan\frac{q{v}_{0}^{\;}{B}_{2}^{\;}}{q{E}_{2}^{\;}}$=arctan$\frac{q{v}_{0}^{\;}{B}_{2}^{\;}}{\sqrt{{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}-{q}_{\;}^{2}{v}_{0}^{2}{B}_{2}^{2}}}$，且斜向下的一切方向
（3）當(dāng)撤去磁場(chǎng)后，帶電質(zhì)點(diǎn)只受電場(chǎng)力和重力作用，這兩個(gè)力的合力大小為$q{v}_{0}^{\;}{B}_{2}^{\;}$，方向既垂直于初速度${v}_{0}^{\;}$的方向也垂直電場(chǎng)${E}_{2}^{\;}$的方向．設(shè)空中M、N兩點(diǎn)間的豎直高度為H，因?yàn)閹щ娰|(zhì)點(diǎn)始終在垂直電場(chǎng)力的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，故電場(chǎng)力在這個(gè)過(guò)程中不做功．
則由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}=mgH+\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：$H=\frac{{v}_{\;}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2g}$
因帶電質(zhì)點(diǎn)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由速度的分解可求得帶電質(zhì)點(diǎn)到達(dá)N點(diǎn)時(shí)沿合力方向的分速度大小為：
${v}_{N}^{\;}=\sqrt{{v}_{\;}^{2}-{v}_{0}^{2}}$
又因電場(chǎng)力在這個(gè)過(guò)程中不做功，只有重力做功，帶電質(zhì)點(diǎn)到達(dá)N點(diǎn)時(shí)，重力做功的功率等于合外力在此時(shí)的瞬時(shí)功率．
解得：${P}_{N}^{\;}=q{v}_{0}^{\;}{B}_{2}^{\;}{v}_{N}^{\;}=q{v}_{0}^{\;}{B}_{2}^{\;}\sqrt{{v}_{\;}^{2}-{v}_{0}^{2}}$
答：（1）要使帶電質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入真空室后做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)的電場(chǎng)強(qiáng)度${E}_{1}^{\;}$為$\frac{mg}{q}$，方向豎直向下；磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qR}$，所有可能的方向可能豎直向上或豎直向下；
（2）為保證帶電質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入真空室后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，調(diào)整磁場(chǎng)和電場(chǎng)的大小和方向，仍保證電場(chǎng)和磁場(chǎng)方向始終平行，當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度大小變?yōu)锽₂時(shí)，此時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度E₂的大小為$\frac{1}{q}\sqrt{{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}-{q}_{\;}^{2}{v}_{0}^{2}{B}_{2}^{2}}$，方向方向?yàn)榕c豎直方向夾角$θ=arcsin\frac{q{v}_{0}^{\;}{B}_{2}^{\;}}{mg}$，且斜向下的一切方向；
（3）若帶電質(zhì)點(diǎn)在滿(mǎn)足第（2）問(wèn)的條件下運(yùn)動(dòng)到空中某一位置M點(diǎn)時(shí)立即撤去磁場(chǎng)，此后運(yùn)動(dòng)到空中另一位置N點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，M、N兩點(diǎn)間的豎直高度H為$\frac{{v}_{\;}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2g}$，經(jīng)過(guò)N點(diǎn)時(shí)重力做功的功率$q{v}_{0}^{\;}{B}_{2}^{\;}\sqrt{{v}_{\;}^{2}-{v}_{0}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 考查洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的處理方法，由洛倫茲、電場(chǎng)力與重力相平衡，結(jié)合幾何關(guān)系來(lái)綜合求解；同時(shí)還考查機(jī)械能守恒定律，及類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并運(yùn)用功率的表達(dá)式來(lái)求解．