Question

（2008?濟(jì)寧模擬）據(jù)中國月球探測計(jì)劃的有關(guān)負(fù)責(zé)人披露，如果順利實(shí)現(xiàn)把宇航員送入太空的目標(biāo)，中國可望在2010年以前完成首次月球探測．“神舟七號”載人飛船的成功為我國實(shí)現(xiàn)探月計(jì)劃--“嫦娥工程”又一次積累了寶貴經(jīng)驗(yàn)．假設(shè)月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g0，飛船在距月球表面高度為3R的圓形軌道I運(yùn)動，到達(dá)軌道的A點(diǎn)點(diǎn)火變軌進(jìn)入橢圓軌道II，到達(dá)軌道的近月點(diǎn)B再次點(diǎn)火進(jìn)入月球近月軌道III繞月球作圓周運(yùn)動．求：
（1）飛船在軌道I上的運(yùn)行速率．
（2）飛船在A點(diǎn)處點(diǎn)火時(shí)，動能如何變化？
（3）飛船在軌道III繞月球運(yùn)行一周所需的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）主要考查圓周運(yùn)動中向心力公式和萬有引力公式的變換，通過聯(lián)立多項(xiàng)公式獲得運(yùn)行速率和常量的關(guān)系；
（2）當(dāng)萬有引力剛好提供衛(wèi)星所需向心力時(shí) 衛(wèi)星正好可以做勻速圓周運(yùn)動，若是供大于需 則衛(wèi)星做逐漸靠近圓心的運(yùn)動，若是供小于需則衛(wèi)星做逐漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動．
（3）近月軌道可看做繞轉(zhuǎn)半徑為月球半徑的圓周，運(yùn)用圓周運(yùn)動規(guī)律即可解決．

解答：解：（1）設(shè)月球的質(zhì)量為M，飛船的質(zhì)量為m，
據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力得  
G

Mm

(4R)2

=m

v2

4R

據(jù)月球表面重力等于萬有引力得 G

mM

R2

=mg0，
解得v=

1

2

g0R

（2）飛船在半徑為4R的圓形軌道Ⅰ運(yùn)動，到達(dá)軌道的A點(diǎn)時(shí)點(diǎn)火變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ是做逐漸靠近地心的運(yùn)動，要實(shí)現(xiàn)這個(gè)運(yùn)動必須萬有引力大于飛船所需向心力，所以應(yīng)給飛船減速，減小所需的向心力．
所以飛船在A點(diǎn)處點(diǎn)火時(shí)動能減小．                                                 
（3）設(shè)飛船在軌道III繞月球運(yùn)行一周所需的時(shí)間為T，此時(shí)重力充當(dāng)向心力
則mg0=m(

2π

T

)2R
∴T=2π

R g0

答：（1）飛船在軌道I上的運(yùn)行速率是

1

2

g0R

．
（2）飛船在A點(diǎn)處點(diǎn)火時(shí)動能減小．
（3）飛船在軌道III繞月球運(yùn)行一周所需的時(shí)間是2π

R g0

．

點(diǎn)評：主要考查圓周運(yùn)動中各種向心力公式的變換．注意題設(shè)條件的完整性．為中檔題