Question

1．“太空粒子探測器”是安裝在國際空間站上的一種粒子物理試驗設備，用于探測宇宙中的奇異物質(zhì)．該設備的原理可簡化如下：如圖所示，輻射狀的加速電場區(qū)域邊界為兩個同心平行半圓弧面MN和M′N′，圓心為O，弧面MN與弧面M′N′間的電勢差設為U，在加速電場的右邊有一寬度為L的足夠長的勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里，磁場的右邊界放有一足夠長的熒光屏PQ．假設太空中漂浮著質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電粒子，它們能均勻地吸附到MN圓弧面上，并被加速電場從靜止開始加速，不計粒子間的相互作用和其它星球?qū)αＷ右�力的影響�?br />（1）若測得粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑為$\frac{L}{2}$，試求出U；
（2）若取U=$\frac{{q{B^2}{L^2}}}{2m}$，試求出粒子從O點到達熒光屏PQ的最短時間；
（3）若測得粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑為$\frac{2}{3}$L，試求熒光屏PQ上發(fā)光的長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑，先求出粒子進入磁場時的速度，然后根據(jù)動能定理，求出電場力做功，最后求出U；
（2）首先根據(jù)動能定理求出粒子進入磁場時的速度，然后根據(jù)圓周運動公式，求出粒子運動半徑，利用幾何中圓的特性可知弦長最短，所對的圓弧長最短，速度相同的話，時間最短；
（3）首先畫出粒子的運動軌跡，然后根據(jù)題意找出臨界值，最后根據(jù)幾何知識求出相應線段長度．

解答 解：（1）由牛頓第二定律得：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$，$r=\frac{L}{2}$
帶電粒子在電場中加速時，由動能定理，$qU=\frac{1}{2}m{v^2}-0$
得：$U=\frac{{q{B^2}{L^2}}}{8m}$
（2）當$U=\frac{{q{B^2}{L^2}}}{2m}$時，
由上題結論可知：r=L
從O點斜向下射入磁場時，OC為弦，
到達PQ屏時間最短，
由幾何關系可知：
OD=CD=OC=L     故θ=60°
得：$t=\frac{1}{6}T$，$T=\frac{2πm}{Bq}$，$t=\frac{πm}{3Bq}$
（3）設粒子打在C點上方最遠點為E，此時圓弧與PQ屏相切于E點，
過圓心O₁作OC的垂線O₁G，在直角△OO₁G中，
OO₁=r=$\frac{2}{3}L$，OG=L-r=$\frac{1}{3}L$
所以O₁G=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}L$即CE=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}L$
設粒子打在C點下方最遠點為F，此時粒子從O點豎直向下進入磁場，圓弧與PQ交于F點．
同理可得：CF=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}L$
所以，熒光屏PQ上發(fā)光的長度EF=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}L$．
答：（1）U為$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{8m}$；
（2）粒子從O點到達熒光屏PQ的最短時間為$\frac{πm}{3Bq}$；
（3）熒光屏PQ上發(fā)光的長度為$\frac{2\sqrt{3}}{3}L$．

點評 靜電力做功和動能定理結合的是電磁大題常出現(xiàn)的考點，應熟練掌握．磁場中粒子軌跡問題需在紙上畫出草圖，結合圓的幾何知識求解，此題難點再與臨界點如何求，可以運用極限分析法分析．