Question

開普勒1609年一1619年發(fā)表了著名的開普勒行星運(yùn)行三定律，其中第三定律的內(nèi)容是：所有行星的橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等．萬(wàn)有引力定律是科學(xué)史上最偉大的定律之一，它于1687年發(fā)表在牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理中》．
（1）請(qǐng)從開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律等推導(dǎo)萬(wàn)有引力定律（設(shè)行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)）；
（2）萬(wàn)有引力定律的正確性可以通過“月-地檢驗(yàn)”來(lái)證明：
如果重力與星體間的引力是同種性質(zhì)的力，都與距離的二次方成反比關(guān)系，那么，由于月心到地心的距離是地球半徑的60倍；月球繞地球做近似圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度就應(yīng)該是重力加速度的1/3600．
試根據(jù)上述思路并通過計(jì)算證明：重力和星體間的引力是同一性質(zhì)的力（已知地球半徑為6.4×10⁶m，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為28天，地球表面的重力加速度為9.8m/s²）．

Answer 1

（1）設(shè)行星的質(zhì)量為m，太陽(yáng)質(zhì)量為M，行星繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，公轉(zhuǎn)周期為T，太陽(yáng)對(duì)行星的引力為F．
太陽(yáng)對(duì)行星的引力提供行星運(yùn)動(dòng)的向心力F=m(

2π

T

)2R=

4π2mR

T2

根據(jù)開普勒第三定律

R3

T2

=K得T2=

R3

K

 
故F=

4π2mK

R2

根據(jù)牛頓第三定律，行星和太陽(yáng)間的引力是相互的，太陽(yáng)對(duì)行星的引力大小與行星的質(zhì)量成正比，反過來(lái)，行星對(duì)太陽(yáng)的引力大小與也與太陽(yáng)的質(zhì)量成正比．所以太陽(yáng)對(duì)行星的引力
F∝

Mm

R2

寫成等式有 F=G

Mm

R2

（G為常量）．
（2）月球繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度為an=

4π2

T2

r
∴an=2.59×10-3m/s2
月球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度與地球表面重力加速度的比為

an

g

=

2.59×10-3

9.8

≈

1

3600

所以，兩種力是同一種性質(zhì)的力．