Question

8．中國(guó)海軍殲-15艦載機(jī)已經(jīng)在“遼寧”艦上多次進(jìn)行觸艦復(fù)飛，并已經(jīng)進(jìn)行了艦載機(jī)著陸和甲板起飛，這標(biāo)志著我國(guó)已經(jīng)擁有在航母上起降艦載機(jī)的能力．
設(shè)質(zhì)量為m的艦載機(jī)，在水平跑道上由靜止勻加速起飛，假定起飛過程中受到的平均阻力恒為飛機(jī)所受重力的k倍，發(fā)動(dòng)機(jī)牽引力恒為F，離開地面起飛時(shí)的速度為v，重力加速度為g．求：
（1）艦載機(jī)的起飛距離（離開地面前的運(yùn)動(dòng)距離）s以及起飛過程中平均阻力的沖量I；
（2）若艦載機(jī)起飛利用電磁彈射技術(shù)，將大大縮短起飛距離．圖甲為電磁彈射裝置的原理簡(jiǎn)化示意圖，與飛機(jī)連接的金屬塊（圖中未畫出）可以沿兩根相互靠近且平行的導(dǎo)軌無摩擦滑動(dòng)．使用前先給電容為C的大容量電容器充電，彈射飛機(jī)時(shí)，電容器釋放儲(chǔ)存電能所產(chǎn)生的強(qiáng)大電流從一根導(dǎo)軌流入，經(jīng)過金屬塊，再從另一根導(dǎo)軌流出；導(dǎo)軌中的強(qiáng)大電流形成的磁場(chǎng)使金屬塊受磁場(chǎng)力而加速，從而推動(dòng)飛機(jī)起飛．
①在圖乙中畫出電源向電容器充電過程中電容器兩極板間電壓u與極板上所帶電荷量q的圖象，在此基礎(chǔ)上求電容器充電電壓為U₀時(shí)儲(chǔ)存的電能E₀；
②當(dāng)電容器充電電壓為Um時(shí)彈射上述飛機(jī)，在電磁彈射裝置與飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)同時(shí)工作的情況下，可使起飛距離縮短為x．若金屬塊推動(dòng)飛機(jī)所做的功與電容器釋放電能的比值為η，飛機(jī)發(fā)動(dòng)的牽引力F及受到的平均阻力不變．求完成此次彈射后電容器剩余的電能E．

Answer 1

分析 （1）艦載機(jī)起飛過程做勻加速運(yùn)動(dòng)，已知受力情況，根據(jù)牛頓第二定律求得加速度，再由速度位移公式求得s．由v=at求出起飛的時(shí)間，從而由I=ft求平均阻力的沖量I；
（2）①根據(jù)q=CU，C一定，畫出u-q圖象．依據(jù)圖象可得電容器儲(chǔ)存電能的規(guī)律，結(jié)合q=CU得到電容器儲(chǔ)存電能．
②由動(dòng)能定理求出電容器釋放的電能，即由能量守恒定律求得電容器剩余的電能E．

解答 解：（1）由題意，飛機(jī)起飛過程中受到的平均阻力為 f=kmg，依據(jù)牛頓第二定律有
  F-f=ma             
得 a=$\frac{F-kmg}{m}$
設(shè)飛機(jī)的起飛距離為s，依據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式
  v²=2as
解得 s=$\frac{v^2}{2a}=\frac{{m{v^2}}}{2（F-kmg）}$
設(shè)飛機(jī)的起飛時(shí)間為t，依據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式 v=at
平均阻力的沖量 I=ft
聯(lián)立解得 I=$\frac{{k{m^2}gv}}{F-kmg}$，平均阻力沖量的方向與飛機(jī)運(yùn)動(dòng)方向相反．
（2）①見答圖．
依據(jù)圖象可得電容器儲(chǔ)存電能的規(guī)律
   E=$\frac{1}{2}qU$

由于q=CU，則電容器充電電壓為U₀時(shí)，
電容器儲(chǔ)存電能 E₀=$\frac{1}{2}q{U_0}$=$\frac{1}{2}CU{\;}_0^2$
②電容器電壓為U_m時(shí)，電容器儲(chǔ)存電能 E_m=$\frac{1}{2}CU{\;}_m^2$
設(shè)電容器釋放的電能為E'，由動(dòng)能定理有
  ηE'+Fx-kmgx=$\frac{1}{2}$mv²-0
解得E'=$\frac{1}{2η}$（mv²+2kmgx-2Fx）
電容器剩余的電能 E_剩=E_m-E'
解得 E_剩=$\frac{1}{2}CU{\;}_m^2$-$\frac{1}{2η}$（mv²+2kmgx-2Fx）
答：
（1）艦載機(jī)的起飛距離（離開地面前的運(yùn)動(dòng)距離）s是$\frac{m{v}^{2}}{2（F-kmg）}$，起飛過程中平均阻力的沖量I是$\frac{{k{m^2}gv}}{F-kmg}$．
（2）①電容器兩極板間電壓u與極板上所帶電荷量q的圖象如圖所示．電容器充電電壓為U₀時(shí)儲(chǔ)存的電能E₀為$\frac{1}{2}CU{\;}_0^2$．
②完成此次彈射后電容器剩余的電能E是$\frac{1}{2}CU{\;}_m^2$-$\frac{1}{2η}$（mv²+2kmgx-2Fx）．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要理清飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)情況，明確能量是如何轉(zhuǎn)化的．在涉及距離時(shí)，也可以根據(jù)動(dòng)能定理進(jìn)行列式研究．