Question

有一傾角為θ的斜面，其底端固定一擋板M，另有三個(gè)木塊A、B和C，它們的質(zhì)量分別為m_A=m_B=m,m_C=3m,它們與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)都相同.其中木塊A連接一輕彈簧放于斜面上，并通過輕彈簧與擋板M相連，如圖1-9-17所示.開始時(shí)，木塊A靜止在P處，彈簧處于自然伸長(zhǎng)狀態(tài).木塊B在Q點(diǎn)以初速度v₀向下運(yùn)動(dòng)，P、Q間的距離為L(zhǎng).已知木塊B在下滑過程中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，與木塊A相撞后立刻一起向下運(yùn)動(dòng)，但不黏連，它們到達(dá)一個(gè)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng)，木塊B向上運(yùn)動(dòng)恰好能回到Q點(diǎn)，木塊A仍靜止于P點(diǎn).若木塊C從Q點(diǎn)開始以初速度向下運(yùn)動(dòng)，經(jīng)歷同樣過程，最后木塊C停在斜面上的R點(diǎn)，求P、R間的距離L′的大小.

圖1-9-17

Answer 1

解析：設(shè)木塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，由木塊沿斜面勻速下滑知mgsinθ=μmgcosθ ①

設(shè)A、B碰撞后共同速度為v₁,彈簧最大壓縮量為s，返回彈簧原長(zhǎng)處（即P點(diǎn)）分離時(shí)速度為v₂,則

由A、B碰撞過程中動(dòng)量守恒，得

mv₀=2mv₁                                                                   ②

由動(dòng)能定理，得：

從碰后至最低點(diǎn)（因重力和摩擦力做功代數(shù)和為零）W_彈=0-·2mv₁²=-mv₁²        ③

從碰后至返回P點(diǎn)-2μmgcosθ·2s=×2mv₂²-×2mv₁²                       ④

分離后至最高點(diǎn)

Q：-（mgsinθ+μmgcosθ）·L=0-mv₂²                                     ⑤

設(shè)C、A碰后速度為v₁′,彈簧最大壓縮量為s′，返回P點(diǎn)時(shí)速度為v₂′，仿上面同樣的討論，得3m· =4mv₁′                                                ⑥

W_彈′=0-×4mv₁′²                                                      ⑦

-4μmgcosθ·2s′=×4mv₂′²-×4mv₁′²                                 ⑧

-(3mgsinθ+3μmgcosθ)L′=0-×3mv₂′²                                   ⑨

由②③⑥⑦解得W_彈=W_彈′.由彈力做功特點(diǎn)知s=s′                           ⑩

解①④⑤⑧⑨⑩，得L′=

答案：L′=