Question

如圖（甲）所示，兩平行金屬板間接有如圖（乙）所示交變電壓u，兩板間電場可看作是均勻的，且兩板外無電場．已知極板長L=0.2m，板間距離d=0.2m，在金屬板右側有一邊界為MN的區(qū)域足夠大的勻強磁場，MN與兩板中線OO′垂直，磁感應強度B=5×10^-3T，方向垂直紙面向里．現(xiàn)有帶正電的粒子流沿兩板中線OO′連續(xù)射入電場中，已知每個粒子的速度v₀=10⁵m/s，比荷q/m=10⁸C/kg，
不計重力，忽略粒子間的相互作用力，在每個粒子通過電場區(qū)域的極短時間內，電場可視作是恒定不變的．
（1）試求帶電粒子射出電場時的最大速度．
（2）證明任意時刻從電場射出的帶電粒子，進入磁場時在MN上的入射點和出磁場時在MN上的出射點間的距離為定值，寫出表達式并求出這個定值．
（3）從電場射出的帶電粒子，進入磁場運動一段時間后又射出磁場，求粒子在磁場中運動的最長時間．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場中做類平拋運動，根據偏轉的最大位移確定出偏轉的最大電壓，從而根據動能定理求出帶電粒子射出電場時的最大速度．
（2）通過粒子進入磁場時的速度大小和方向，根據帶電粒子在磁場中的半徑公式，結合幾何關系求出粒子從磁場中飛出的位置與進入磁場的位置之間的距離．
（3）根據幾何關系求出粒子在磁場中運動的最大圓心角，從而根據周期公式求出粒子在磁場中運動的最長時間．

解答：解：（1）設兩板間電壓為U₁時，帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場，則有

d

2

=

1

2

?

U1q

dm

（

L

v0

）²
代入數(shù)據得：U₁=100V
當電壓低于100V時，帶電粒子才能從兩板間射出．粒子從極板邊緣射出電場時速度最大，設最大速度為v₁，則有：

1

2

mv12-

1

2

mv02=q?

U1

2

．
解得：v₁=1.414×10⁵m/s
（2）設某一粒子進入磁場時速度方向與OO′的夾角為θ，
則其速度大小v=

v0

cosθ

軌道半徑R=

mv

qB

=

mv0

qBcosθ

，
粒子從磁場中飛出的位置與進入磁場的位置之間的距離
s=2Rcosθ=

2mv0

qB

，
可見，任一帶電粒子進入磁場的入射點與出射點間距為定值
將數(shù)據代入上式得s=0.4m．
（3）設粒子飛出電場時的速度方向與OO′的最大夾角為θ，則
tanθ=

d 2

L 2

=1，所以θ=45°．
分析可知，粒子在磁場中運動的最長時間tmax=

3

4

T=

3πm

2qB

=9.42×10-6s．
答：（1）帶電粒子射出電場時的最大速度為1.414×10⁵m/s．
（2）證明如上所示．
（3）粒子在磁場中運動的最長時間為9.42×10^-6s．

點評：本題關鍵是畫出粒子進入磁場后的各種可能的運動軌跡，根據洛倫茲力提供向心力列式后得出半徑和周期，然后求出磁偏轉的距離表達式，并得出回旋角度的范圍，從而得到磁偏轉的范圍和運動時間的范圍．