Question

8．如圖所示，豎直平行正對放置的帶電金屬板A、B，B板中心的小孔正好位于平面直角坐標系xoy的O點；y軸沿豎直方向；在x＞0的區(qū)域內存在沿y軸正方向的勻強電場，電場強度大小為E=$\frac{4}{3}$×10³V/m；比荷為1.0×10⁵C/kg的帶正電的粒子P從A板中心O′處靜止釋放，其運動軌跡恰好經過M（$\sqrt{3}$，1）點；粒子P的重力不計，試求：
（1）金屬板AB之間的電勢差U_AB；
（2）若在粒子P經過O點的同時，在y軸右側勻強電場中某點由靜止釋放另一帶電微粒Q，使PQ恰能運動中相碰；假設Q的質量是P的2倍、帶電情況與P相同；Q的重力及PQ之間的相互作用力均忽略不計；求粒子Q所有釋放點的集合．

Answer 1

分析 （1）粒子從O點進入右側勻強電場的速度${v}_{0}^{\;}$，進入右側電場做類平拋運動，根據類平拋運動的知識求${v}_{0}^{\;}$，再由動能定理求金屬板AB間的電勢差；
（2）由牛頓運動定律及類平拋運動的規(guī)律和幾何關系可得粒子Q所有釋放點的集合

解答 解：（1）設粒子P的質量為m、帶電量為q，從O點進入勻強電場時的速度大小為v₀；由題意可知，粒子P在y軸右側勻強電場中做類平拋運動；
設從O點運動到M（$\sqrt{3}$，1）點歷時為t₀，由類平拋運動可得：$x={v}_{0}^{\;}t$
$y=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}_{0}^{2}$
解得：${v}_{0}^{\;}=\sqrt{2}×1{0}_{\;}^{4}m/s$
在金屬板AB之間，由動能定理：$q{U}_{AB}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：U_AB=1000V
（2）設P、Q在右側電場中運動的加速度分別為a₁、a₂；Q粒子從坐標N（x，y）點釋放后，經時間t與粒子P相遇；
由牛頓運動定律及類平拋運動的規(guī)律和幾何關系可得：
對于P：Eq=ma₁
對于Q：Eq=2ma₂
x=v₀t
$\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{\;}^{2}=y+\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{\;}^{2}$
解得：$y=\frac{1}{6}{x}_{\;}^{2}$，其中x＞0
即粒子Q釋放點N（x，y）坐標滿足的方程為：$y=\frac{1}{6}{x}_{\;}^{2}$其中x＞0
答：（1）金屬板AB之間的電勢差${U}_{AB}^{\;}$為1000V；
（2）若在粒子P經過O點的同時，在y軸右側勻強電場中某點由靜止釋放另一帶電微粒Q，使PQ恰能運動中相碰；假設Q的質量是P的2倍、帶電情況與P相同；Q的重力及PQ之間的相互作用力均忽略不計；粒子Q所有釋放點的集合$y=\frac{1}{6}{x}_{\;}^{2}$，其中x＞0

點評 本題考查了帶電粒子在勻強電場中的加速和偏轉問題，在加速電場中，一般用動能定理處理；在偏轉電場中做類平拋運動，將運動分解為垂直電場線的勻速運動和沿電場線的勻加速運動處理．