Question

（2009?上海模擬）如圖所示，ABCD是T形架，B為AC的中點(diǎn)，BD與AC垂直．已知ABC是質(zhì)量m₁=10kg的勻質(zhì)硬木板，BD是質(zhì)量m₂=5kg的勻質(zhì)硬木柱，且BD=0.6m，D端用光滑的鉸鏈與地面連接，木板與水平地面的夾角為37°．小鋼塊質(zhì)量m₃=3kg，與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.75．小鋼塊先在外力F=38.4N作用，從靜止開始沿木板加速向上運(yùn)動(dòng)，一段時(shí)間后撤去外力F，小鋼塊繼續(xù)沿木板運(yùn)動(dòng)至A且速度恰好變?yōu)榱�，T形架始終處于平衡狀態(tài)．（取sin37°=0.6，cos37°=0.8），求：
（1）木板C端所受支持力的最小值．
（2）外力F與AC間的夾角為多大時(shí)，外力F作用的時(shí)間最短？
（3）外力F作用的最短時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）小鋼塊位于A位置時(shí)，木板C端所受的支持力最小，以D點(diǎn)為支點(diǎn)，受力分析后，根據(jù)力矩平衡條件求解出C點(diǎn)的支持力；
（2）要讓外力F作用的時(shí)間最短，則應(yīng)使外力作用時(shí)，小鋼塊的加速度最大，受力分析后根據(jù)牛頓第二定律列式判斷；
（3）求解出拉力F作用下和撤去后的加速度，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解．

解答：解：（1）小鋼塊位于A位置時(shí)，木板C端所受的支持力最小．
T型架受力如圖（甲）所示，其力矩平衡．N?

.

AB

+μN(yùn)?

.

BD

+NC?

.

DC

=m2g?

. BD

2

sin37°+m1g?

.

BD

sin37°
由小鋼塊的受力，可知  N=m₃gcos37°   
求得C 端所受支持力的最小值  N_C=15N  

（2）要讓外力F作用的時(shí)間最短，則應(yīng)使外力作用時(shí)，小鋼塊的加速度最大．
小鋼塊的受力如圖（乙），設(shè)F與AC的夾角為 β，則
平行AC方向：Fcosβ-m₃gsinβ-μN(yùn)=m₃a₁   
垂直AC方向：N+Fsinβ=m₃gcosβ   
聯(lián)立，得
a₁=

F(cosβ+μsinβ)

m3

-gsinθ-μgcosθ=

1+μ2 F

m3

cos（β-α）-gsinθ-μgcosθ，

式中α=arctan μ  （見上圖）
因此，當(dāng)F與AC的夾角β=α=arctanμ=arctan0.75=37°時(shí)，加速度a₁最大，外力F作用的時(shí)間最短．   
（3）由（1）知  a_1max=

1+μ2 F

m3

-g （ sinθ+μ cosθ ）=4m/s²    
撤去拉力后，a₂=g （sinθ+μ cosθ ）=12m/s²   
又  

s1

s2

=

a2

a1max

=

12

4

=3，s1=

3

4

.

AC

=1.2m   
由  s1=

1

2

a1max

t

2 1

，得外力F作用的最短時(shí)間 t₁=0.77s  
答：（1）木板C端所受支持力的最小值為15N．
（2）外力F與AC間的夾角為37°時(shí)，外力F作用的時(shí)間最短；
（3）外力F作用的最短時(shí)間為0.77s．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是明確滑塊和滑板的受力情況、滑塊的運(yùn)動(dòng)情況，然后根據(jù)力矩平衡條件、牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式聯(lián)立求解，較難．