Question

如圖甲所示，水平直線MN下方有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)E=

π

10

×10 ⁴ N/C．現(xiàn)將一重力不計(jì)、比荷

q

m

=10⁶ C/kg的正電荷從電場(chǎng)中的O點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)過(guò)t₀=1×10^-5s后，通過(guò)MN上的P點(diǎn)進(jìn)入其上方的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外，以電荷第一次通過(guò)MN時(shí)開始計(jì)時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度按圖乙所示規(guī)律周期性變化．
（1）求電荷進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v₀；
（2）求圖乙中t=2×10^-5s時(shí)刻電荷與P點(diǎn)的距離；
（3）如果在P點(diǎn)右方d=105cm處有一垂直于MN的足夠大的擋板，求電荷從O點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到擋板所需的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）電荷在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律結(jié)合可求出電荷進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v₀．
（2）電荷進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分別求出電荷在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑和周期，畫出軌跡，由幾何關(guān)系求出t=2×10^-5s時(shí)刻電荷與P點(diǎn)的水平距離．
（3）電荷在周期性變化的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，根據(jù)周期性分析電荷到達(dá)檔板前運(yùn)動(dòng)的完整周期數(shù)，即可求出荷沿MN運(yùn)動(dòng)的距離．根據(jù)電荷擋板前的運(yùn)動(dòng)軌跡，求出其運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即得總時(shí)間．

解答：解：（1）電荷在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)其在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，有：
    v₀=at₀  Eq=ma
解得：v0=

qE

m

?t0=

q

m

?Et0=106×

π

10

×104×1×10-5m/s=π×10⁴m/s；          
（2）當(dāng)磁場(chǎng)垂直紙面向外B1=

π

20

T時(shí)，電荷運(yùn)動(dòng)的半徑：r1=

mv0

qB1

代入數(shù)據(jù)得：r₁=0.2m
周期T1=

2πm

qB1

代入數(shù)據(jù)得：T1=4×10-5s
當(dāng)磁場(chǎng)B2=

π

10

時(shí)，電荷運(yùn)動(dòng)的半徑：r2=

mv0

qB2

代入數(shù)據(jù)得：r₂=0.1m
周期  T2=

2πm

qB2

代入數(shù)據(jù)得：T2=2×10-5s  
故電荷從t=0時(shí)刻開始做周期性運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示．

t=2×10^-5s時(shí)刻電荷先沿大圓軌跡運(yùn)動(dòng)四分之一周期，然后再沿小圓弧運(yùn)動(dòng)半個(gè)周期，與P點(diǎn)的水平距離：△d=r₁=0.2m；  
（3）電荷從第一次通過(guò)MN開始，其運(yùn)動(dòng)的周期為：T=6×10^-5 s，每一個(gè)周期內(nèi)沿PN的方向運(yùn)動(dòng)的距離為0.4=40cm，故電荷到達(dá)擋板前運(yùn)動(dòng)的完整的周期數(shù)為2個(gè)，沿PN方向運(yùn)動(dòng)的距離為80cm，最后25cm的距離如圖2所示，設(shè)正電荷以α角撞擊到擋板上，有：
r₁+r₂cosα=0.25m
代入數(shù)據(jù)解得：cosα=0.5，即α=60°
 故電荷運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t總=t0+2T+

1

4

T1+

30°

360°

?T2
代入數(shù)據(jù)解得：t總=1.42×10-5s
答：（1）電荷進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為π×10⁴m/s．（2）t=2×10^-5s時(shí)刻電荷與P點(diǎn)的水平距離為20cm．（3）電荷從O點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到擋板所需的時(shí)間為1.42×10^-4s．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，電荷在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合研究是最常用的方法，也可以由動(dòng)量定理處理．電荷在周期性磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，要抓住周期性即重復(fù)性進(jìn)行分析，根據(jù)軌跡求解時(shí)間．