Question

9．如圖所示，真空中區(qū)域I和區(qū)域Ⅱ內(nèi)存在著與紙面垂直的方向相反的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B．在區(qū)域II的上邊界線上的N點固定一負(fù)的點電荷，并采取措施使之只對區(qū)域II以上空間產(chǎn)生影響．一帶正電的粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，自區(qū)域I下邊界線上的O點以速度v₀垂直于磁場邊界及磁場方向射入磁場，經(jīng)過一段時間粒子通過區(qū)域Ⅱ邊界上的O'點，最終又從區(qū)域I下邊界上的P點射出．圖中N、P兩點均未畫出，但已知N點在O′點的右方，且N點與O′點相距L．區(qū)域I和Ⅱ的寬度為d=$\frac{m{v}_{0}}{2qB}$，兩區(qū)域的長度足夠大．N點的負(fù)電荷所帶電荷量的絕對值為Q=$\frac{Lm{v}_{0}^{2}}{kq}$（其中k為靜電力常量）．不計粒子的重力，求：
（1）粒子在磁場中做圓周運動的軌道半徑；
（2）粒子在O與O′之間運動軌跡的長度和位移的大�。�
（3）粒子從O點到P點所用的時間及O、P兩點間的距離．

Answer 1

分析 （1）由洛侖茲力提供向心力可求得半徑公式．
（2）由于區(qū)域Ⅰ和Ⅱ磁場的大小相等方向相反，所以從O點垂直入射的粒子做勻速圓周運動的方向相反．運動軌跡具有對稱性．由題意知磁場寬度d的表達(dá)式可以看出半徑與距離d，再由幾何關(guān)系關(guān)系找到粒子在兩個磁場區(qū)域內(nèi)偏轉(zhuǎn)的角度，從而能求出路程和位移．
（3）由分析知：正電荷垂直于區(qū)域Ⅱ的上邊界經(jīng)過O′點，即與負(fù)粒子產(chǎn)生的電場垂直，正電荷受到的庫侖力為$F=\frac{kQq}{{l}^{2}}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{l}$，所以正電荷將繞N點做勻速圓周運動，轉(zhuǎn)過半圈后再次回到Ⅱ區(qū)的上邊緣，進(jìn)入Ⅱ區(qū)和Ⅰ區(qū)分別做勻速圓周運動，由運動的對稱性和相關(guān)幾何關(guān)系，能求出粒子從O點到P點所用的時間及O、P兩點間的距離．

解答 解：（1）由$qB{v}_{0}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{R}$得軌道半徑為：$R=\frac{m{v}_{0}}{qB}$
（2）由題意知：R=2d，
  所以粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)角度：$θ=30°=\frac{π}{6}$
  運動軌跡的長度：$s=2Rθ=\frac{πm{v}_{0}}{3qB}$
  位移的大�。簒=4Rsin15°=4Rsin（45°-30°）=$\frac{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）m{v}_{0}}{qB}$
（3）由分析知：正電荷垂直于區(qū)域Ⅱ的上邊界經(jīng)過O′點，即與負(fù)粒子產(chǎn)生的電場垂
  直，正電荷受到的庫侖力為$F=\frac{kQq}{{L}^{2}}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{L}$，所以正電荷將繞N點做勻速圓周運動．
  在磁場中運動周期：${T}_{1}=\frac{2πm}{qB}$
  在磁場中運動對應(yīng)的總角度：$α=4θ=\frac{2π}{3}$
  在磁場中運動的總時間：${t}_{1}=\frac{α}{2π}{T}_{1}=\frac{2πm}{3qB}$
  在電場中運動周期：${T}_{2}=\frac{2πL}{{v}_{0}}$
  在電場中運動時間：${t}_{2}=\frac{{T}_{2}}{2}=\frac{πL}{{v}_{0}}$
  正電荷從O點到P點的時間：$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{2πm}{3qB}+\frac{πL}{{v}_{0}}$
  正電荷從O點到O′點的過程中沿平行于邊界線方向偏移的距離：
${x}_{1}=2（R-Rcos30°）=（2-\sqrt{3}）R$ 
  當(dāng)L≥x₁  時（如圖甲所示），O、P兩點間的距離為：
${l}_{OP}=2（L-{x}_{1}）=2[L-\frac{（2-\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}]$
  當(dāng)L＜x₁ 時（如圖乙所示），O、P兩點的距離為：
${l}_{OP}=2（{x}_{1}-L）=2[\frac{（2-\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}-L]$
答：（1）粒子在磁場中做圓周運動的軌道半徑$\frac{m{v}_{0}}{qB}$．
（2）粒子在O與O′之間運動軌跡的長度為$\frac{πm{v}_{0}}{3qB}$，位移的大小$\frac{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）m{v}_{0}}{qB}$．
（3）粒子從O點到P點所用的時間為$\frac{2πm}{3qB}+\frac{πL}{{v}_{0}}$，O、P兩點間的距離：
①當(dāng)L≥x₁  時，O、P兩點間的距離為：${l}_{OP}=2（L-{x}_{1}）=2[L-\frac{（2-\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}]$；
②當(dāng)L＜x₁ 時，O、P兩點的距離為：${l}_{OP}=2（{x}_{1}-L）=2[\frac{（2-\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}-L]$．

點評 本題的靚點在于：①粒子在Ⅰ、Ⅱ運動做勻速圓周運動由于轉(zhuǎn)動方向相反，所以具有對稱性，且有關(guān)系R=2d，這為后續(xù)計算提供方便．②由于N點的負(fù)電荷所帶電荷量的絕對值為$Q=\frac{Lm{{v}_{0}}^{2}}{kq}$，則q、Q之間的庫侖力$F=\frac{kQq}{{L}^{2}}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{L}$，剛好使q繞N點做半徑為L的勻速圓周運動，這樣整個運動軌跡就非常對稱，時間與距離很容易求出．