Question

9．如圖所示，光滑直桿AB長(zhǎng)為L(zhǎng)，B端固定一根勁度系數(shù)為k，原長(zhǎng)為L(zhǎng)₀的輕彈簧，質(zhì)量為m的小球套在光滑桿上并與彈簧的上端連接．OO′為過(guò)B點(diǎn)的豎直軸，桿與水平面間的夾角始終為θ．重力加速度為g．
（1）當(dāng)小球隨光滑直桿一起繞OO'軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量為△L，求勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω；
（2）若θ=30°，移去彈簧，當(dāng)桿繞OO'軸以角速度ω₀=$\sqrt{\frac{g}{L}}$勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小球恰好在桿上某一位置隨桿在水平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，求小球離B點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）設(shè)彈簧伸長(zhǎng)△l₂時(shí)，對(duì)小球受力分析，根據(jù)向心力公式列式求解；
（2）當(dāng)桿繞OO'軸以角速度ω₀勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)向心力公式列式求解即可．

解答 解：（1）設(shè)彈簧伸長(zhǎng)時(shí)△L，球受力如圖所示，
水平方向上有：${F}_{N}sinθ+k△Lcosθ=m{ω}^{2}（{L}_{0}+△L）cosθ$
豎直方向上有：F_Ncosθ-k△Lsinθ-mg=0
解得：ω=$\sqrt{\frac{k△L+mgsinθ}{m（{L}_{0}+△L）co{s}^{2}θ}}$
（2）當(dāng)桿繞OO'軸以角速度ω₀勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，設(shè)小球距離B點(diǎn)L₀，有：
mgtanθ=mω²rcosθ
解得：$r=\frac{2}{3}L$
答：（1）當(dāng)小球隨光滑直桿一起繞OO'軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量為△L，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω為$\sqrt{\frac{k△L+mgsinθ}{m（{L}_{0}+△L）co{s}^{2}θ}}$；
（2）小球離B點(diǎn)的距離為$\frac{2}{3}L$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓第二定律、胡克定律與圓周運(yùn)動(dòng)的綜合，要明確小球做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，靠合力提供向心力，由靜止釋放時(shí)，加速度為零時(shí)速度最大．