Question

13．如圖為三顆衛(wèi)星在空中某一面內運動的示意圖．衛(wèi)星G₁和G₂以及衛(wèi)星G₃均可認為繞地心O做勻速圓周運動．衛(wèi)星G₁和G₂的軌道半徑為r，某時刻兩顆衛(wèi)星分別位于軌道上的A、B兩位置，衛(wèi)星G₃在C位置．若衛(wèi)星均順時針運行，∠AOB=60°，地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R，不計衛(wèi)星間的相互作用力．則下列說法正確的是（　�。�

• A． 衛(wèi)星G₃的角速度比衛(wèi)星G₁的角速度小
• B． 衛(wèi)星G₁和G₂的加速度大小相等且為g
• C． 若衛(wèi)星G₃與衛(wèi)星G₁的質量相等，則發(fā)射G₃比G₁所需的能量更多
• D． 衛(wèi)星G₁由位置A第一次運動到位置B所需的時間為$\frac{π}{3R}$$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{g}}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力及重力與萬有引力相等分析衛(wèi)星的加速度大小情況，掌握衛(wèi)星變軌原理即通過做離心運動和近心運動改變運動軌道，根據(jù)除重力外其它力做功與機械能變化的關系分析機械能的變化情況．

解答 解：A、根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr{ω}^{2}$，得$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$．所以半徑較小的衛(wèi)星G₃的角速度比衛(wèi)星G₁的角速度大．故A錯誤；
B、根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{mM}{{r}^{2}}=ma$，得a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$．而GM=gR²．所以衛(wèi)星的加速度$a=\frac{g{R}^{2}}{{r}^{2}}$，所以衛(wèi)星G₁和G₂的加速度大小相等且小于g．故B錯誤；
C、衛(wèi)星的軌道越高，發(fā)射需要的能量越大，所以若衛(wèi)星G₃與衛(wèi)星G₁的質量相等，則發(fā)射G₃比G₁所需的能量更小，故C錯誤；
D、根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr{ω}^{2}$，得$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$．所以衛(wèi)星G₁由由位置A運動到位置B所需的時間t=$\frac{\frac{π}{3}}{ω}=\frac{πr}{3R}\sqrt{\frac{r}{g}}$．故D正確；
故選：D

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力$G\frac{mM}{{r}^{2}}=ma$，以及黃金代換式GM=gR²．