Question

14．如圖所示，兩根金屬導(dǎo)軌平行放置形成傾角為37°的導(dǎo)軌平面，兩導(dǎo)軌之間的距離L=0.5m，導(dǎo)軌上端連接一阻值為R=0.2Ω的電阻；質(zhì)量為m=0.2kg、電阻r=0.2Ω的導(dǎo)體棒MN跨在兩傾斜導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌和電阻形成閉合回路，MN與傾斜導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5．兩傾斜導(dǎo)軌下端通過一小段光滑圓弧與兩平行光滑水平導(dǎo)軌相連．傾斜導(dǎo)軌平面內(nèi)A₁A₂與A₃A₄之間存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ，水平導(dǎo)軌平面內(nèi)A₅A₆右側(cè)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ，兩磁場(chǎng)邊界與導(dǎo)軌垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，方向均與所在位置的導(dǎo)軌平面垂直．MN初始位置與磁場(chǎng)邊界A₁A₂的距離為x₁=lm，將MN由靜止釋放，為保持導(dǎo)體棒在傾斜導(dǎo)軌上始終做勻加速運(yùn)動(dòng)，MN在磁場(chǎng)I運(yùn)動(dòng)的過程中需要對(duì)其施加一平行導(dǎo)軌平面的變力F．從導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)I開始計(jì)時(shí)，F(xiàn)隨時(shí)間t變化的規(guī)律為F=0.2t+0.2 （N），若導(dǎo)體棒停止運(yùn)動(dòng)時(shí)到A₅A₆的距離為X₂=8m．M、N滑動(dòng)過程中始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，除R和r外其余電阻均不計(jì)．取g=l0m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）MN進(jìn)入磁場(chǎng)I時(shí)的速度大�。�
（2）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（3）MN的初始位置與水平軌道平面的高度差．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求MN進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度；
（2）根據(jù)題意導(dǎo)體棒在傾斜導(dǎo)軌上始終做勻加速運(yùn)動(dòng)，所以導(dǎo)體棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)受到的安培力和外力F相等；
（3）根據(jù)勻加速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式求出導(dǎo)體棒到達(dá)斜面底端的速度大小，進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅱ后，根據(jù)對(duì)極端時(shí)間運(yùn)用牛頓第二定律列式，再利用累積法可求出MN的初始位置與水平軌道平面的高度差；

解答 解：（1）進(jìn)入磁場(chǎng)之前，對(duì)MN：
mgsin37°-μmgcos37°=ma
設(shè)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為${v}_{0}^{\;}$，則
${v}_{0}^{2}=2a{x}_{1}^{\;}$
解得：${v}_{0}^{\;}=2m/s$
（2）導(dǎo)體棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ時(shí)
F=BIL
$I=\frac{E}{R+r}$
$E=BL{v}_{0}^{\;}$
據(jù)題意：F=0.2N
解得：B=0.4T
（3）設(shè)導(dǎo)體棒沿傾斜導(dǎo)軌下滑的距離為x，到達(dá)導(dǎo)軌底端時(shí)的速度大小為${v}_{1}^{\;}$，則：
${v}_{1}^{2}=2ax$
h=xsin37°
進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅱ后速度為v時(shí)，由牛頓第二定律：
$F=ma=m\frac{△v}{△t}$
$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}v}{R+r}=m\frac{△v}{△t}$
$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{R+r}v△t=m△v$
$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{R+r}△x=m△v$
由于導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅱ時(shí)的速度為${v}_{1}^{\;}$，末速度為0，在磁場(chǎng)Ⅱ中發(fā)生的位移為${x}_{2}^{\;}$，則：
$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{R+r}{x}_{2}^{\;}=m{v}_{1}^{\;}$
聯(lián)立以上幾式解得：h=2.4m
答：（1）MN進(jìn)入磁場(chǎng)I時(shí)的速度大小2m/s
（2）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小0.4T；
（3）MN的初始位置與水平軌道平面的高度差2.4m

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)中的力學(xué)問題，關(guān)鍵是分析導(dǎo)體棒的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，靈活應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，第三問運(yùn)用累積法求解有一定的難度．