Question

5．如圖所示，質(zhì)量為2m的小車靜止于光滑的水平面上，小車AB段是半徑為R的四分之一圓弧光滑軌道，BC段是長為是1.5R的水平粗糙軌道，兩段軌道相切于B點(diǎn)，一質(zhì)量為m的滑塊在小車上從A點(diǎn)靜止開始沿軌道下滑，重力加速度為g．
（1）若固定小車，求滑塊運(yùn)動過程中對小車的最大壓力F；
（2）若不固定小車，求小車運(yùn)動過程中的最大速度V；
（3）若不固定小車，且滑塊和小車之間的摩擦因數(shù)μ=0.8，試分析滑塊能否從C點(diǎn)滑出，求整個運(yùn)動過程中小車的位移x．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)滑塊運(yùn)動到最低點(diǎn)時，滑塊對小車的壓力最大，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出物塊到達(dá)B點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律得出支持力的大小，從而得出最大壓力．
（2）若不固定小車，系統(tǒng)在水平方向上動量守恒，結(jié)合動量守恒定律和能量守恒定律求出小車運(yùn)動過程中的最大速度．
（3）由于系統(tǒng)在水平方向上動量守恒，可知最終滑塊和小車最后均靜止，根據(jù)能量守恒求出相對位移的大小，判斷出滑塊未滑離小車，根據(jù)水平方向上的動量守恒，得出車和滑塊的速度之比，結(jié)合位移公式得出整個過程中小車的位移．

解答 解：（1）從A到B，滑塊速度最大，由機(jī)械能守恒定律得，mgR=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
在B點(diǎn)，${F}_{1}-mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
所以由牛頓第三定律知F=F₁，代入數(shù)據(jù)解得F=3mg，方向向下．
（2）從A到B，滑塊的速度最大，mgR=$\frac{1}{2}•2m{v}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
水平方向動量守恒，mv₁=2mv，
解得v=$\sqrt{\frac{gR}{3}}$，方向向左．
（3）假設(shè)滑塊未從小車上滑出，設(shè)相對位移是s，
由水平方向動量守恒，滑塊和小車最后均靜止，μmgs=mgR，
所以s=1.25R＜1.5R，假設(shè)成立．
由水平方向動量守恒，任何時刻2mv_車=mv_塊，
所以任意一段時間內(nèi)車和滑塊的平均水平速度之比為$\frac{1}{2}$，
所以任意一段時間內(nèi)車和滑塊的水平位移之比為$\frac{1}{2}$，所以車的位移為$x=\frac{1}{3}（R+1.25R）=\frac{3R}{4}$，方向向左．
答：（1）若固定小車，求滑塊運(yùn)動過程中對小車的最大壓力為3mg，方向向下．
（2）小車運(yùn)動過程中的最大速度為$\sqrt{\frac{gR}{3}}$．
（3）整個運(yùn)動過程中小車的位移為$\frac{3R}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了動量守恒定律和能量守恒的綜合運(yùn)用，知道小車不固定時，滑塊和小車在水平方向上動量守恒，結(jié)合能量守恒和動量守恒進(jìn)行求解，難度中等．