Question

12．如圖所示，在平面坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度大小為E，在第二象限內(nèi)存一個垂直于紙面向外的圓形有界勻強(qiáng)磁場，磁場邊界剛好與x軸相切于P點(diǎn)，Q點(diǎn)是x軸正半軸上的一點(diǎn)，且OQ=OP=d；一帶正電的粒子以速度v從P點(diǎn)進(jìn)入圓形有界磁場，速度v的方向與軸的夾角θ=37°，粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后垂直于y軸進(jìn)入電場，恰好能打在Q點(diǎn)．粒子的比荷為k，不計粒子的重力，求：
（1）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大��；
（2）粒子從P點(diǎn)運(yùn)動到Q點(diǎn)所用的時間；
（3）圓形有界磁場的面積．

Answer 1

分析 （1）由類平拋運(yùn)動得到粒子進(jìn)入電場時的豎直高度，再通過在磁場中的圓周運(yùn)動的軌跡的幾何關(guān)系得到半徑，進(jìn)而得到磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）將粒子做圓周運(yùn)動的周期及中心角、離開磁場的位置求解出來，粒子做類平拋運(yùn)動的時間，及粒子離開磁場，進(jìn)入電場前做勻速直線運(yùn)動，分三段求解后累加即可；
（3）磁場邊界與x軸相切與P點(diǎn)，則P點(diǎn)的徑向?yàn)樨Q直方向，且圓心在圓上弦長的垂直平分線上，即可根據(jù)幾何關(guān)系求得半徑．

解答 解：（1）由于粒子以速度v垂直y軸進(jìn)入電場，故粒子離開磁場時的速度方向?yàn)樗�平向右方向；由左手定則可判斷，粒子在P點(diǎn)向右下方偏轉(zhuǎn)；則粒子運(yùn)動軌跡如圖所示，，
粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，剛好能運(yùn)動Q點(diǎn)，設(shè)在y 軸上的入射點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y），則$y=\frac{1}{2}a{{t}_{3}}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{qE}{m}×（\fracrqucvck{v}）^{2}=\frac{kEb7htbbi^{2}}{2{v}^{2}}$；
粒子在磁場中運(yùn)動，洛倫茲力做向心力，故有：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$R=\frac{mv}{Bq}=\frac{v}{kB}$；
那么由幾何關(guān)系可得：R-Rcosθ=R（1-cos37°）=0.2R=y，所以R=5y；
所以，$B=\frac{v}{kR}=\frac{v}{5ky}$=$\frac{2{v}^{3}}{5{k}^{2}Er4u744r^{2}}$；
（2）粒子在磁場中運(yùn)動的時間為${t}_{1}=\frac{37°}{360°}T=\frac{37}{360}×\frac{2πR}{v}$=$\frac{37}{360}×\frac{2π}{kB}=\frac{37×2π×5kExdpbfix^{2}}{360×2{v}^{3}}=\frac{37πkEzdembp9^{2}}{72{v}^{3}}$；
在沒有磁場的空間運(yùn)動的距離為$s=d-Rsin37°=d-\frac{3}{5}R$=$d-3y=d-\frac{3kEmxqnvdg^{2}}{2{v}^{2}}$；
因此在沒有磁場的空間內(nèi)運(yùn)動的時間為${t}_{2}=\frac{s}{v}=\fracwwtbumv{v}-\frac{3kEdjrzhvk^{2}}{2{v}^{3}}$；
在電場中運(yùn)動的時間為${t}_{3}=\fracetmqjib{v}$；
因此從 P 點(diǎn)運(yùn)動到Q 點(diǎn)的時間為$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=\frac{2d}{v}+（\frac{37π}{72}-\frac{3}{2}）\frac{kEw99z4gk^{2}}{{v}^{3}}$；
（3）由于粒子做圓周運(yùn)動的圓與有界磁場的邊界圓相交，圓心連線與交點(diǎn)連線垂直，且將交點(diǎn)連線平分，O₁P豎直，O₂與粒子在磁場的出射點(diǎn)的連線也豎直，因此兩圓心與兩交點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，因此有界磁場的半徑r=R；
所以，有界磁場的面積為S=πr²=πR²=25πy²=$\frac{25π{k}^{2}{E}^{2}mdaiair^{4}}{4{v}^{4}}$；
答：（1）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小$\frac{2{v}^{3}}{5{k}^{2}Ewlxudcf^{2}}$；
（2）粒子從P點(diǎn)運(yùn)動到Q點(diǎn)所用的時間為$\frac{2d}{v}+（\frac{37π}{72}-\frac{3}{2}）\frac{kEyfcvcgd^{2}}{{v}^{3}}$；
（3）圓形有界磁場的面積為$\frac{25π{k}^{2}{E}^{2}a42vdh2^{4}}{4{v}^{4}}$．

點(diǎn)評 帶電粒子在磁場中的運(yùn)動問題，一般由洛倫茲力做向心力，得到半徑的表達(dá)式，然后再根據(jù)幾何條件得到粒子運(yùn)動軌跡，進(jìn)而求解運(yùn)動軌跡的相關(guān)問題．