Question

（2013?東城區(qū)二模）如圖所示，在質(zhì)量為M=0.99kg的小車上，固定著一個(gè)質(zhì)量為m=0.01kg、電阻R=1Ω的矩形單匝線圈MNPQ，其中MN邊水平，NP邊豎直，MN邊長(zhǎng)為L(zhǎng)=0.1m，NP邊長(zhǎng)為l=0.05m．小車載著線圈在光滑水平面上一起以v₀=10m/s的速度做勻速運(yùn)動(dòng)，隨后進(jìn)入一水平有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)（磁場(chǎng)寬度大于小車長(zhǎng)度）．磁場(chǎng)方向與線圈平面垂直并指向紙內(nèi)、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=1.0T．已知線圈與小車之間絕緣，小車長(zhǎng)度與線圈MN邊長(zhǎng)度相同．求：
（1）小車剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)線圈中感應(yīng)電流I的大小和方向；
（2）小車進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中流過(guò)線圈橫截面的電量q；
（3）如果磁感應(yīng)強(qiáng)度大小未知，已知完全穿出磁場(chǎng)時(shí)小車速度v₁=2m/s，求小車進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中線圈電阻的發(fā)熱量Q．

Answer 1

分析：（1）小車剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)線圈切割磁感線，由E=BLv₀求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律求解感應(yīng)電流I的大小，根據(jù)楞次定律判斷I的方向；
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和q=I△t結(jié)合起來(lái)，求出流過(guò)線圈橫截面的電量q；
（3）根據(jù)牛頓第二定律得到瞬時(shí)感應(yīng)電流與速度變化率的關(guān)系式，運(yùn)用積分法求出小車完全進(jìn)入磁場(chǎng)后速度，再根據(jù)功能關(guān)系，即可求出小車進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中線圈電阻的發(fā)熱量Q．

解答：解：（1）線圈切割磁感線的速度v₀=10m/s，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=Blv₀=1×0.05×10=0.5V
由閉合電路歐姆定律得，線圈中電流I=

E

R

=

0.5

1

A=0.5A
由楞次定律知，線圈中感應(yīng)電流方向?yàn)?nbsp;M→Q→P→N→M
（2）小車進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中流過(guò)線圈橫截面的電量為
  q=I△t=

E

R

△t
又E=

△Φ

△t

，△Φ=BS
聯(lián)立得q=

BS

R

=5×10-3C
（3）設(shè)小車完全進(jìn)入磁場(chǎng)后速度為v，
在小車進(jìn)入磁場(chǎng)從t時(shí)刻到t+△t時(shí)刻（△t→0）過(guò)程中，根據(jù)牛頓第二定律得
-BIL=-m

△v

△t

 
 即-BLI△t=m△v
兩邊求和得  -BLI△t=m△v
則得  BLq=m（v₀-v）
設(shè)小車出磁場(chǎng)的過(guò)程中流過(guò)線圈橫截面的電量為q′，
同理得 BLq′=m（v-v₁） 
又線圈進(jìn)入和穿出磁場(chǎng)過(guò)程中磁通量的變化量相同，因而有 q=q′
故得  v₀-v=v-v₁  即 v=

v0+v1

2

=6 m/s
所以，小車進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中線圈電阻的發(fā)熱量為
  Q=

1

2

(M+m)

v

2 0

-

1

2

(M+m)v2=

1

2

×1×102-

1

2

×1×62=32J
答：（1）小車剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)線圈中感應(yīng)電流I的大小是0.5A，方向?yàn)?M→Q→P→N→M；
（2）小車進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中流過(guò)線圈橫截面的電量q是5×10^-3C；
（3）小車進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中線圈電阻的發(fā)熱量Q是32J．

點(diǎn)評(píng)：本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識(shí)的綜合，難點(diǎn)是運(yùn)用積分法求出小車完全進(jìn)入磁場(chǎng)后的速度，關(guān)鍵從牛頓第二定律出發(fā)進(jìn)行變形，再求和得到．運(yùn)用功能關(guān)系時(shí)，要分析回路中涉及幾種形式的能，分析能量是如何轉(zhuǎn)化的是關(guān)鍵．