Question

19．一質(zhì)量M=2m、長(zhǎng)為L(zhǎng)的長(zhǎng)木板固定在水平地面上，一質(zhì)量為m的小滑塊以水平速度v₀從長(zhǎng)木板的一端開(kāi)始在木板上滑動(dòng)，最終恰好離開(kāi)木板．
（1）試求小滑塊與長(zhǎng)木板間摩擦因數(shù)μ．
（2）若把該木板靜止放在光滑地面上，則小滑塊至少要以多大的初速度v從長(zhǎng)木板的一端開(kāi)始在長(zhǎng)木板上滑動(dòng)，才能離開(kāi)長(zhǎng)木板．

Answer 1

分析 第一個(gè)過(guò)程選物塊作為研究對(duì)象，對(duì)物塊進(jìn)行受力分析，對(duì)物塊應(yīng)用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律解決；第二個(gè)過(guò)程，分別對(duì)木板和物塊進(jìn)行受力分析，對(duì)木板和物塊分別應(yīng)用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，最后利用滑離木板的臨界條件，找到二者位移滿足的關(guān)系，即：共速時(shí)，二者相對(duì)位移等于木板長(zhǎng)度

解答 解：
（1）設(shè)摩擦力大小為f，支持力大小為F_N，重力加速大小為g，小物塊的加速度為a₁
      
        小物塊受力情況如圖所示，
        在豎直方向小滑塊受力平衡：mg=F_N
        根據(jù)滑動(dòng)摩擦公式：f=μF_N
        在水平方向?qū)π∥飰K運(yùn)用牛頓第二定律：f=ma₁ 
        在水平方向?qū)π∥飰K運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律：-2a₁L=0-v₀²
        聯(lián)立以上各式可得：μ=$\sqrt{\frac{{v}_{0}^{2}}{2gL}}$
（2）離開(kāi)長(zhǎng)木板的條件是恰好共速時(shí)離開(kāi)木板．
        畫(huà)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程圖如下圖所示，設(shè)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到共速，物塊的位移為x₁，木板的位移為x₂，木板受摩擦力為f′，最終二者共同的速度為v_共，從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到共速的時(shí)間為t
     
        小物塊做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，木板做勻加速直線運(yùn)動(dòng)
        小物塊受力情況與（1）相同，所以此過(guò)程小物塊加速度的大小仍為a₁=μg①
        對(duì)木板受力分析，水平方向?qū)ζ溥\(yùn)用牛頓第二定律：f′=Ma₂  
        牛頓第三定律得：f′=f，可求a₂=$\frac{1}{2}$μg②
對(duì)木板和小物塊分別運(yùn)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)，木板：v_共=a₂t ③小物塊：v_共=v-a₁t ④
       ①②③④式聯(lián)立可得：v_共=$\frac{1}{3}$v⑤
        對(duì)木板和小物塊分別運(yùn)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)，木板：2a₂x₂=v_共²⑥小物塊：-2a₁x₁=v_共²-v²⑦
        小物塊恰好離開(kāi)長(zhǎng)木板時(shí)滿足：x₁-x₂=L⑧
        第一問(wèn)結(jié)果與①②⑤⑥⑦⑧式聯(lián)立得：v=$\sqrt{3μgL}$
答：（1）小滑塊與長(zhǎng)木板間摩擦因數(shù)μ=$\sqrt{\frac{{v}_{0}^{2}}{2gL}}$     
       （2）若把該木板靜止放在光滑地面上，則小滑塊至少要以初速度v=$\sqrt{3μgL}$從長(zhǎng)木板的一端開(kāi)始在長(zhǎng)木板上滑動(dòng)，才能離開(kāi)長(zhǎng)木板．

點(diǎn)評(píng) 此題難度不大，牢記離開(kāi)木板的臨界條件；第二問(wèn)也可以用動(dòng)量守恒定律結(jié)合動(dòng)能定理的整體法去解決