Question

12．如圖所示，某快遞公司需將質(zhì)量為m=200Kg的貨物（可視為質(zhì)點(diǎn)）從高處運(yùn)送至地面，為避免貨物與地面發(fā)生撞擊，現(xiàn)利用固定于地面的光滑四分之一圓軌道，使貨物由軌道頂端無初速滑下，軌道半徑R=1.8m．地面上緊靠軌道放置一質(zhì)量M=100kg的平板車，平板車上表面與軌道末端相切．貨物與平板車間的動摩擦因數(shù)為μ=0.5，平板車與水平地面間的摩擦力很小，可忽略不計．最終貨物與平板車達(dá)到共同速度一起向右運(yùn)動，并與豎直墻壁發(fā)生碰撞．設(shè)碰撞時間極短且碰撞后平板車速度大小保持不變，但方向與原來相反，平板車足夠長，使得貨物總不能和墻相碰（取g=10m/s²）．
求：
（1）求貨物到達(dá)圓軌道末端時對軌道壓力的大�。�
（2）貨物在平板車上滑行的總路程；
（3）平板車和墻第一次相碰以后平板車所走的總路程．

Answer 1

分析 （1）貨物在光滑圓軌道下滑的過程中，只有重力做功，其機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒可以得出貨物到達(dá)圓軌道末端時時的速度，再由向心力的公式可以求得貨物受到的支持力的大小，根據(jù)牛頓第三定律可以得到貨物到達(dá)圓軌道末端時對軌道的壓力大��；
（2）貨物滑上平板后，在摩擦力作用下，貨物與車的機(jī)械能不斷損失，最終均靜止，由能量守恒定律求貨物在平板車上滑行的總路程；
（3）要分析平板車的運(yùn)動過程：先由動量守恒定律求出車與墻第一次碰撞前貨物與車的共同速度．再由動量守恒定律求得兩者第二次相對靜止時的共同速度．由動能定理求出平板車向左運(yùn)動的路程．再用同樣的方法求出車與墻第二次碰撞前貨物與車的共同速度．再由動量守恒定律求得兩者第三次相對靜止時的共同速度．由動能定理求出平板車向左運(yùn)動的路程．找出規(guī)律，運(yùn)用歸納法求車和墻第一次相碰以后平板車所走的總路程．

解答 解：（1）貨物從圓軌道最高點(diǎn)滑到最低點(diǎn)的過程，由機(jī)械能守恒定律得
   mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$ ①
在軌道最低點(diǎn)，由牛頓第二定律得 F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ ②
聯(lián)立①②可得 F_N=6000N
由牛頓第三定律得貨物在最低點(diǎn)對軌道的壓力大小 F_N′=F_N=6000N
（2）貨物與車最終均靜止，由能量守恒定律得
   $\frac{1}{2}m{v}^{2}$=μmgS_m   ③
解得貨物在平板車上滑行的總路程 S_m=3.6m
（3）貨物從軌道滑上平板車到保持相對靜止的過程中，取向右為正方向，由動量守恒定律得
   mv=（m+M）v₀．④
從第一次碰撞后到第二次保持相對靜止的過程中，由動量守恒定律得
   mv₀-Mv₀=（m+M）v₁．⑤
設(shè)平板車向左滑動的路程為s₁．
由動能定理得-μmgs₁=0-$\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}$ ⑥
聯(lián)立①④⑤⑥得 s₁=0.8m，v₁=$\frac{1}{3}$v₀．
第二次與墻碰撞后，同理有
   mv₁-Mv₁=（m+M）v₂．⑦
-μmgs₂=0-$\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}$ ⑧
解 s₂=$\frac{1}{9}$s₁，v₂=$\frac{1}{3}$v₁．
根據(jù)對數(shù)據(jù)分析可知：平板車向左滑行的路程為無窮等比數(shù)列，首列 s₁=0.8m，公式 q=$\frac{1}{9}$
所以平板車和墻第一次相碰以后平板車所走的總路程 S=2（s₁+s₂+…）=2×s₁×$\frac{1}{1-q}$=1.8m
答：
（1）貨物到達(dá)圓軌道末端時對軌道壓力的大小是6000N；
（2）貨物在平板車上滑行的總路程是3.6m；
（3）平板車和墻第一次相碰以后平板車所走的總路程是1.8m．

點(diǎn)評 本題物理中數(shù)列問題，關(guān)鍵是正確分析平板車的運(yùn)動過程，根據(jù)動量守恒定律和動能定理分析每次碰撞后平板車向左運(yùn)動的路程，找出規(guī)律，由數(shù)學(xué)知識進(jìn)行研究．