Question

2．已知某星球的質(zhì)量是地球質(zhì)量的81倍，半徑是地球半徑的9倍，在地球上發(fā)射一顆衛(wèi)星，其第一宇宙速度為7.9km/s，
（1）該星球表面重力加速度為多少？
（2）在該星球上發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，其發(fā)射速度最小是多少？

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力等于重力表示出星球表面重力加速度進(jìn)行求解；第一宇宙速度是衛(wèi)星繞星近表面速度，根據(jù)地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供向心力求解．

解答 解：（1）地球表面：$m{g}_{地}^{\;}=G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{地}^{2}}①$
在星球表面：$m{g}_{星}^{\;}=G\frac{{M}_{星}^{\;}m}{{R}_{星}^{2}}$②
聯(lián)立①②：$\frac{{g}_{星}^{\;}}{{g}_{地}^{\;}}=\frac{{M}_{星}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}\frac{{R}_{地}^{2}}{{R}_{星}^{2}}=\frac{81}{1}•\frac{1}{81}=1$
解得：${g}_{星}^{\;}={g}_{地}^{\;}=10m/{s}_{\;}^{2}$
（2）對于地球的近地衛(wèi)星，由萬有引力提供向心力，則有$G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{地}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{地}^{\;}}$③
對于星球的近地衛(wèi)星，由萬有引力提供向心力，則有$G\frac{{M}_{星}^{\;}m}{{R}_{星}^{2}}=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{星}^{\;}}$④
聯(lián)立③④得：$\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{星}^{\;}}\frac{{R}_{星}^{\;}}{{R}_{地}^{\;}}}=\sqrt{\frac{1}{81}×\frac{9}{1}}=\frac{1}{3}$
所以${v}_{2}^{\;}=3{v}_{1}^{\;}=23.7km/s$
答：（1）該星球表面重力加速度為$10m/{s}_{\;}^{2}$
（2）在該星球上發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，其發(fā)射速度最小是23.7km/s

點(diǎn)評 本題是衛(wèi)星類型問題，關(guān)鍵是要建立物理模型，運(yùn)用萬有引力定律和向心力知識，加上數(shù)學(xué)變換來求解．