Question

20．半徑為R的光滑圓環(huán)豎直放置，環(huán)的圓心為O，環(huán)上套有兩個(gè)質(zhì)量分別為m和$\sqrt{3}$m的小球A和B．AB之間用一長(zhǎng)為$\sqrt{2}$R的輕桿相連，如圖所示．開始時(shí)，A、B都靜止，且A在圓環(huán)的最高點(diǎn)，現(xiàn)將A、B釋放，試求：
（1）B球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（2）B球到達(dá)最低點(diǎn)的過(guò)程中，桿對(duì)A球做的功；
（3）B球在圓環(huán)右側(cè)區(qū)域內(nèi)能達(dá)到的最高點(diǎn)時(shí)，OB與豎直方向的夾角．

Answer 1

分析 （1）把AB看成一個(gè)系統(tǒng)，由于只有重力做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律即可求解B球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（2）對(duì)A球，運(yùn)用動(dòng)能定理即可求解桿對(duì)A球做的功；
（3）設(shè)B球到右側(cè)最高點(diǎn)時(shí)，AB與豎直方向夾角為θ，圓環(huán)圓心處為零勢(shì)能面．系統(tǒng)機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律即可求解θ．

解答 解：（1）對(duì)于AB組成系統(tǒng)，從釋放到B到達(dá)最低點(diǎn)的過(guò)程，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得：
  mgR+$\sqrt{3}$mgR=$\frac{1}{2}$（m+$\sqrt{3}$m）v_B²
得，v_B=$\sqrt{2gR}$
（2）B球到達(dá)最低點(diǎn)的過(guò)程中，對(duì)A球，根據(jù)動(dòng)能定理得：
  mgR+W=$\frac{1}{2}$mv_B²
而v_B=$\sqrt{2gR}$
解得，桿對(duì)A球做的功  W=0；
（3）設(shè)B球到右側(cè)最高點(diǎn)時(shí)，AB與豎直方向夾角為θ，如圖，圓環(huán)圓心處為零勢(shì)能面．

系統(tǒng)機(jī)械能守恒，mgR=$\sqrt{3}$mgRcosθ-mgRsinθ
代入數(shù)據(jù)得，θ=30°
所以B球在圓環(huán)右側(cè)區(qū)域內(nèi)能達(dá)到的最高點(diǎn)與豎直方向夾角為30°；
答：
（1）B球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度大小是$\sqrt{2gR}$．
（2）B球到達(dá)最低點(diǎn)的過(guò)程中，桿對(duì)A球做的功是0．      
（3）B球在圓環(huán)右側(cè)區(qū)域內(nèi)能達(dá)到的最高點(diǎn)時(shí)，OB與豎直方向的夾角為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了機(jī)械能守恒定律以及動(dòng)能定理的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能選取適當(dāng)?shù)难芯繉?duì)象，要知道系統(tǒng)的機(jī)械能是守恒的，但單個(gè)小球的機(jī)械能并不守恒．