Question

19．如圖1所示，一質(zhì)量m=0.10kg、電阻R=0.10Ω的矩形金屬框abcd由靜止開(kāi)始釋放，豎直向下進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)．已知磁場(chǎng)方向垂直紙面向內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.50T，金屬框?qū)扡=0.20m，開(kāi)始釋放時(shí)ab邊與磁場(chǎng)的上邊界重合．經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁，金屬框下降了h₁=0.50m，金屬框中產(chǎn)生了Q₁=0.45J的熱量，取g=10m/s²．
（1）求經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁時(shí)金屬框速度v₁的大小以及感應(yīng)電流的大小和方向；
（2）經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁后，在金屬框上施加一個(gè)豎直方向的拉力，使它作勻變速直線運(yùn)動(dòng)，再經(jīng)過(guò)時(shí)間t₂=0.1s，又向下運(yùn)動(dòng)了h₂=0.12m，求金屬框加速度的大小以及此時(shí)拉力的大小和方向（此過(guò)程中cd邊始終在磁場(chǎng)外）．
（3）t₂時(shí)間后該力變?yōu)楹愣ɡ�力，又�?jīng)過(guò)時(shí)間t₃金屬框速度減小到零后不再運(yùn)動(dòng)．求該拉力的大小以及t₃時(shí)間內(nèi)金屬框中產(chǎn)生的焦耳熱（此過(guò)程中cd邊始終在磁場(chǎng)外）．
（4）在圖2所給坐標(biāo)中定性畫(huà)出金屬框所受安培力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系圖線．

Answer 1

分析 物理過(guò)程很明顯的一個(gè)題，在重力的作用下進(jìn)入磁場(chǎng)，由于切割磁感線又將受到阻礙運(yùn)動(dòng)的安培力，因此金屬框始做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)．
（1）經(jīng)過(guò)t₁，由題設(shè)根據(jù)能量守恒定律求出此刻金屬棒的速度．
（2）之后在金屬棒上加一個(gè)豎直向上的拉力，使它做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，由于速度變化致使安培力也將變化，拉力也相應(yīng)變化．由題設(shè)條件先求出加速度，從而這段時(shí)間的末速度也能求出，感應(yīng)電流、安培力等一并求出，再據(jù)牛頓第二定律求出此刻的拉力．
（3）拉力變?yōu)楹懔�后，由于減速到零，最終靜止時(shí)，拉力等于重力；由功能關(guān)系知：克服拉力做的功減小了重力勢(shì)能，最后動(dòng)能全部變成了焦耳熱．
（4）分段考慮，找出每個(gè)過(guò)程的臨界坐標(biāo)，最后用平滑的曲、直線連起來(lái)就能得到．

解答 解：（1）從開(kāi)始到經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁  由能量守恒定律得：
          $mg{h}_{1}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+{Q}_{1}$
   代入解得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{2（mg{h}_{1}-Q）}{m}}=\sqrt{\frac{2（0.1×10×0.5-0.45}{0.1}}m/s$=1m/s
   感應(yīng)電流$I=\frac{E}{R}=\frac{BL{v}_{1}}{R}=\frac{0.5×0.2×1}{0.1}A$=1A，由右手定則知：方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较颍?br />（2）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式再經(jīng)過(guò)時(shí)間t₂，金屬框以v₁速度做勻變速直線運(yùn)動(dòng)：
        ${h}_{2}={v}_{1}{t}_{2}+\frac{1}{2}a{{t}_{2}}^{2}$ 
  代入得到：$a=\frac{2（{h}_{2}-{v}_{1}{t}_{2}）}{{{t}_{2}}^{2}}=\frac{2（0.12-1×0.1）}{0．{1}^{2}}m/{s}^{2}$=4m/s² 
  此刻金屬框的速度：v₂=v₁+at₂=1m/s+4×0.1m/s=1.4m/s
  感應(yīng)電流：$I′=\frac{BL{v}_{2}}{R}=\frac{0.5×0.2×1.4}{0.1}A=1.4A$
  據(jù)牛頓第二定律有：F+mg-BI′L=ma  
  所以：F=BI′L+ma-mg=0.5×0.2×1.4N+0.1×4N-0.1×10N=-0.46N  負(fù)號(hào)表示方向向上．
（3）拉力F變?yōu)橐粋�(gè)恒力后，金屬框做減速運(yùn)動(dòng)，速度為零時(shí)當(dāng)拉力等于重力時(shí)就靜止，此時(shí)F′=mg=1N
  由能量守恒金屬框的動(dòng)能全部變?yōu)榻苟鸁�，所以�?br />         ${Q}_{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}×0.1×1．{4}^{2}J$=9.8×10^-2J
（4）由分析可得安培力隨時(shí)間t的變化圖象如下圖：
答：（1）經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁時(shí)金屬框速度v₁的大小為1m/s，感應(yīng)電流的大小為1A、方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较颍?br />（2）經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁后，在金屬框上施加一個(gè)豎直方向的拉力，使它作勻變速直線運(yùn)動(dòng)，再經(jīng)過(guò)時(shí)間t₂=0.1s，又向下運(yùn)動(dòng)了h₂=0.12m，此時(shí)金屬框加速度的大小4m/s²，此時(shí)拉力的大小為0.46N，方向豎直向上．
（3）t₂時(shí)間后該力變?yōu)楹愣ɡ�力，又�?jīng)過(guò)時(shí)間t₃金屬框速度減小到零后不再運(yùn)動(dòng)．此時(shí)該拉力的大小為1N，t₃時(shí)間內(nèi)金屬框中產(chǎn)生的焦耳熱9.8×10^-2J．

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)在于每一過(guò)程給出了不同已知條件：0-t₁，加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，由能量守恒求末速度；t₁-t₁+t₂，勻加速直線運(yùn)動(dòng)，速度、電流、安培力、均勻增加，則拉力也應(yīng)均勻增加；t₁+t₂----t₃，拉力變?yōu)楹懔ψ罱K靜止，由動(dòng)能定律可以求出安培力做的功，從而該過(guò)程產(chǎn)生的焦耳熱能夠求出來(lái)．