Question

理論證明，取離星球中心無窮遠(yuǎn)處為引力勢能的零勢點時，以物體在距離星球中心為r 處的引力勢能可表示為：Ep=-G

Mm

r

，式中G為萬有引力常數(shù)，M、m表示星球與物體的質(zhì)量，而萬有引力做的正功等于引力勢能的減少．已知月球質(zhì)量為M、半徑為R，探月飛船的總質(zhì)量為m．月球表面的重力加速度為g．
（1）求飛船在距月球表面高度為H=R的環(huán)月軌道運行時的速度v；
（2）設(shè)將飛船從月球表面發(fā)送到上述環(huán)月軌道的能量至少為E．有同學(xué)提出了一種計算此能量E的方法：根據(jù)E=

1

2

mv2+mgH，將（1）中的v代入即可．請判斷此方法是否正確，并說明理由．如不正確，請給出正確的解法與結(jié)果（不計飛船質(zhì)量的變化及其他天體的引力）．

Answer 1

分析：（1）探月飛船作圓周運動所需的向心力由月球?qū)μ皆嘛w船的萬有引力提供，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式求解速度v．
（2）探月飛船從月球表面發(fā)送到H高處的過程中月球的引力為變力，飛船克服引力所做的功不等于mgH．應(yīng)根據(jù)題中條件：引力勢能Ep=-G

Mm

r

，根據(jù)能量守恒列式求解．

解答：解：（1）探月飛船作圓周運動所需的向心力由月球?qū)μ皆嘛w船的萬有引力提供，則有  
  G

Mm

(R+H)2

=

mv2

(R+H)

解得 v=

GM R+H

=

GM 2R

（2）不正確；因探月飛船從月球表面發(fā)送到H高處的過程中月球的引力為變力，故克服引力所做的功不等于mgH．  
由引力勢能定義可知，探月飛船從月球表面發(fā)送到H處引力勢能的改變量 △EP=(-G

Mm

R+H

)-(-G

Mm

R

)
整理后得　△EP=GMm

H

R(R+H)

由能量守恒定律可知，將探月飛船從月球表面發(fā)送到H處所需的能量為 E=

1

2

mv2+△Ep
聯(lián)立求解得　E=

GMm(R+2H)

2R(R+H)

=

3GMm

4R

答：
（1）飛船在距月球表面高度為H=R的環(huán)月軌道運行時的速度v為

GM 2R

；
（2）不正確．正確的解法與結(jié)果見上．

點評：本題關(guān)鍵是明確衛(wèi)星的向心力來源、勢能的表達(dá)式、動能的表達(dá)式，然后根據(jù)牛頓第二定律和能量守恒定律列式求解．