Question

如圖所示，輕彈簧一端連于固定點(diǎn)O，可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端連接一帶電小球P,其質(zhì)量m=2×10^-2 kg,電荷量q="0.2" C.將彈簧拉至水平后，以初速度V₀="20" m/s豎直向下射出小球P,小球P到達(dá)O點(diǎn)的正下方O₁點(diǎn)時(shí)速度恰好水平，其大小V="15" m/s.若O、O₁相距R="1.5" m,小球P在O₁點(diǎn)與另一由細(xì)繩懸掛的、不帶電的、質(zhì)量M=1.6×10^-1 kg的靜止絕緣小球N相碰。碰后瞬間，小球P脫離彈簧，小球N脫離細(xì)繩，同時(shí)在空間加上豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)E和垂直于紙面的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。此后，小球P在豎直平面內(nèi)做半徑r="0.5" m的圓周運(yùn)動(dòng)。小球P、N均可視為質(zhì)點(diǎn)，小球P的電荷量保持不變，不計(jì)空氣阻力，取g="10" m/s²。那么，

（1）彈簧從水平擺至豎直位置的過(guò)程中，其彈力做功為多少？
（2）請(qǐng)通過(guò)計(jì)算并比較相關(guān)物理量，判斷小球P、N碰撞后能否在某一時(shí)刻具有相同的速度。
(3)若題中各量為變量，在保證小球P、N碰撞后某一時(shí)刻具有相同速度的前提下，請(qǐng)推導(dǎo)出r的表達(dá)式(要求用B、q、m、θ表示，其中θ為小球N的運(yùn)動(dòng)速度與水平方向的夾角)。

Answer 1

見解析

（1）設(shè)彈簧的彈力做功為W，有：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　�、�
代入數(shù)據(jù)，得：W＝J　　　　　　　　　　　　　　　�、�
（2）由題給條件知，N碰后作平拋運(yùn)動(dòng)，P所受電場(chǎng)力和重力平衡，P帶正電荷。設(shè)P、N碰后的速度大小分別為v₁和V，并令水平向右為正方向，有:     ③
而：　　　　　　　　　　　　　　　　            ④
若P、N碰后速度同向時(shí)，計(jì)算可得V<v1，這種碰撞不能實(shí)現(xiàn)。P、N碰后瞬時(shí)必為反向運(yùn)動(dòng)。有：                   ⑤

P、N速度相同時(shí)，N經(jīng)過(guò)的時(shí)間為，P經(jīng)過(guò)的時(shí)間為。設(shè)此時(shí)N的速度V1的方向與水平方向的夾角為，有：
　　　　　　　                             ⑥
　　　　　　　　　　　  　         ⑦
代入數(shù)據(jù)，得：　　　　　　　　　　             ⑧
對(duì)小球P，其圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，有：
　　　　　　　　　　　　　            　      ⑨
經(jīng)計(jì)算得：＜T，
P經(jīng)過(guò)時(shí)，對(duì)應(yīng)的圓心角為，有：　　　     ⑩
當(dāng)B的方向垂直紙面朝外時(shí)，P、N的速度相同，如圖可知，有：
聯(lián)立相關(guān)方程得：
比較得，，在此情況下，P、N的速度在同一時(shí)刻不可能相同。
當(dāng)B的方向垂直紙面朝里時(shí)，P、N的速度相同，同樣由圖，有：，
同上得：，
比較得，，在此情況下，P、N的速度在同一時(shí)刻也不可能相同。
（3）當(dāng)B的方向垂直紙面朝外時(shí)，設(shè)在t時(shí)刻P、N的速度相同，，
再聯(lián)立④⑦⑨⑩解得：
當(dāng)B的方向垂直紙面朝里時(shí)，設(shè)在t時(shí)刻P、N的速度相同，
同理得：，
考慮圓周運(yùn)動(dòng)的周期性，有:
（給定的B、q、r、m、等物理量決定n的取值）