Question

3．一個(gè)靜止的光滑的$\frac{1}{4}$圓弧軌道正好與質(zhì)量為M的小車相銜接，一個(gè)質(zhì)量為m的小物體從圓弧軌道的頂部由靜止滑下，在小車上前進(jìn)ts后與小車相對(duì)靜止，這時(shí)小車前進(jìn)了sm遠(yuǎn)，若小車是放在光滑水平面上的，m與小車間有恒定的摩擦力，如圖所示，求：
（1）物體m在小車上滑行多遠(yuǎn)？
（2）圓弧軌道半徑R多大？

Answer 1

分析 （1）m滑上M后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，M做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)基本公式結(jié)合牛頓第二定律求解物體m在小車上滑行的位移以及小物體的初速度；
（2）小物體下滑過程中，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解R．

解答 解：（1）m滑上M后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，M做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)共同速度為v，小車的加速度為a，
對(duì)M有：$\frac{v}{2}t=s$，解得：v=$\frac{2s}{t}$，
$s=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，解得：a=$\frac{2s}{{t}^{2}}$，
根據(jù)牛頓第二定律得：f=Ma=$\frac{2sM}{{t}^{2}}$，
則小物體的加速度${a}_{1}=\frac{f}{m}=\frac{2sM}{{mt}^{2}}$，
則小物體的初速度${v}_{0}=v+{a}_{1}t=\frac{2s（M+m）}{mt}$，
這段時(shí)間內(nèi)滑塊的位移$x=\frac{v+{v}_{0}}{2}t=\frac{s（M+2m）}{m}$，
所以物體m在小車上滑行的位移△x=x-s=$\frac{s（M+m）}{m}$
（2）小物體下滑過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=mgR$
解得：R=2$\frac{{s}^{2}（M+m）^{2}}{g{m}^{2}{t}^{2}}$
答：（1）物體m在小車上滑行的距離為$\frac{s（M+m）}{m}$；
（2）圓弧軌道半徑R為2$\frac{{s}^{2}{（M+m）}^{2}}{g{m}^{2}{t}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式以及牛頓第二定律的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析物體的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，難度適中．