Question

11．如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，由一段斜的直軌道與之相切的圓形軌道連接而成，圓形軌道的半徑為R．一質(zhì)量為m的小物塊（視為質(zhì)點）從斜軌道上某處由靜止開始下滑，然后沿圓形軌道運動．（g為重力加速度）
（1）要使物塊能恰好通過圓軌道最高點，求物塊初始位置相對于圓形軌道底部的高度h多大；
（2）要求物塊能通過圓軌道最高點，且在最高點與軌道間的壓力不能超過5mg．求物塊初始位置相對于圓形軌道底部的高度h的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求得在A處的速度，然后應(yīng)用機械能守恒求得高度；
（2）根據(jù)牛頓第二定律求得在A處的速度范圍，然后應(yīng)用機械能守恒求得高度取值范圍；

解答 解：（1）要使物塊能恰好通過圓軌道最高點，那么對物塊在最高點A處應(yīng)用牛頓第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{A}}^{2}}{R}$；
又有物塊運動過程只有重力做功，機械能守恒，所以有$mg（h-2R）=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}=\frac{1}{2}mgR$，所以，$h=\frac{5}{2}R$；
（2）要求物塊能通過圓軌道最高點，且在最高點與軌道間的壓力不能超過5mg，那么由牛頓第三定律可得：物塊在最高點受到軌道的支持力不超過5mg；
所以，對物塊在最高點A處應(yīng)用牛頓第二定律可得：$mg≤\frac{m{v}_{A}{′}^{2}}{R}≤5mg+mg=6mg$；
又有物塊運動過程只有重力做功，機械能守恒，所以有$mg（h-2R）=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}'^{2}$，所以，$\frac{1}{2}R≤h-2R≤3R$，所以，$\frac{5}{2}R≤h≤5R$；
答：（1）要使物塊能恰好通過圓軌道最高點，物塊初始位置相對于圓形軌道底部的高度h為$\frac{5}{2}R$；
（2）要求物塊能通過圓軌道最高點，且在最高點與軌道間的壓力不能超過5mg．物塊初始位置相對于圓形軌道底部的高度h的取值范圍為$[\frac{5}{2}R，5R]$．

點評 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動能定理及幾何關(guān)系求解．