Question

如圖所示，光滑水平面AB與豎直面內(nèi)的半圓形導(dǎo)軌在B點(diǎn)相接，導(dǎo)軌半徑為R．一個(gè)質(zhì)量為m的物體將彈簧壓縮至A點(diǎn)后由靜止釋放，在彈力作用下物體獲得某一向右速度后脫離彈簧，脫離彈簧后當(dāng)它經(jīng)過(guò)B點(diǎn)進(jìn)入導(dǎo)軌瞬間對(duì)導(dǎo)軌的壓力為其重力的7倍，之后向上運(yùn)動(dòng)完成半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)恰好到達(dá)C點(diǎn)．試求：
（1）彈簧開(kāi)始時(shí)的彈性勢(shì)能；
（2）物體從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)克服阻力做的功；
（3）物體離開(kāi)C點(diǎn)后落回水平面時(shí)的速度大小和方向．

Answer 1

分析：（1）研究物體經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的狀態(tài)，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律求出物體經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的速度，得到物體的動(dòng)能，物體從A點(diǎn)至B點(diǎn)的過(guò)程中機(jī)械能守恒定律，彈簧的彈性勢(shì)能等于體經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的動(dòng)能；
（2）物體恰好到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，由重力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求出C點(diǎn)的速度，物體從B到C的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求解克服阻力做的功；
（3）物體離開(kāi)軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解法求出物體離開(kāi)C點(diǎn)后落回水平面時(shí)的速度大小和方向．

解答：解：（1）物塊在B點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m

v 2 B

R

，
由題意：F_N=7mg
物體經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的動(dòng)能：E_kB=

1

2

mv_B²=3mgR     
在物體從A點(diǎn)至B點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，彈簧的彈性勢(shì)能：E_p=E_kB=3mgR．
（2）物體到達(dá)C點(diǎn)僅受重力mg，根據(jù)牛頓第二定律有：mg=m

v 2 C

R

，E_kC=

1

2

mv_C²=

1

2

mgR
物體從B點(diǎn)到C點(diǎn)只有重力和阻力做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：W_阻-mg?2R=E_kC-E_kB
解得：W_阻=-0.5mgR
所以物體從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)克服阻力做的功為：W=0.5mgR．
（3）物體離開(kāi)軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向有：vx=vc=

gR

堅(jiān)直方向有：vy=

2?g?2R

=2

gR

落地時(shí)的速度大�。�v=

vx2+vy2

=

5gR

與水平方向成θ角斜向下：tanθ=

vy

vx

=2．得θ=arctan2．
答：（1）彈簧開(kāi)始時(shí)的彈性勢(shì)能是3mgR；
（2）物體從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)克服阻力做的功為0.5mgR；
（3）物體離開(kāi)C點(diǎn)后落回水平面時(shí)的速度大小是

5gR

，方向與水平方向成arctan2角．

點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)牛頓第二定律求出物體經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的速度，再結(jié)合動(dòng)能定理、平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求解．