Question

（2009?宿遷模擬）如圖所示，質量為m，電荷量為+q的帶電粒子放在帶電平行薄板靠近正極板處，無初速度釋放后經電場直線加速穿過負極板小孔A，再過一小段時間后進入右側有一半徑為R的圓形邊界的勻強磁場區(qū)域，圓形區(qū)域邊界與負極板相切于C點，磁場方向垂直紙面向外．粒子進入磁場的初速度平行于直徑CD，在磁場中運動了四分之一周期后出磁場，已知平行板間電壓為U，兩極板間距為d，負極板上A、C兩點間距離為0.6R，不計重力，求：
（1）粒子進入磁場的初速度v₀的大小
（2）磁感應強度B的大小
（3）粒子從開始運動到出磁場過程的總時間t．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在電場中做加速運動，由動能定理可求出粒子進入磁場時的速度；
（2）由題意利用幾何關系可得出粒子的轉動半徑，由洛侖茲力充當向心力可得出磁感應強度的大小；
（3）粒子在電場中做勻加速直線運動，由運動學公式可求出運動的時間；在磁場根據周期公式和轉過的角度可求出時間，總時間即兩段時間之和．

解答：解：（1）電子在電場中加速，由動能定理可得：
Uq=

1

2

mv₀²；
解得：v₀=

2Uq m

；
（2）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，由題意可知粒子離開磁場時應沿豎直方向，粒子在磁場中轉過的圓心角為90°，AC=0.6R；由幾何關系可知，O到A₁O₁的垂直距離為0.8R；
因△OO₁A≌△OO₁B，∠A₁O₁O=∠BO₁O=45°
則軌跡半徑為：r=0.6R+0.8R=1.4R；
由洛侖茲力充當向心力可知：
Bqv=m

v2

r

解得：B=m

v

qr

=

5

7R

2Um q

； 
（3）粒子在電場中的運動時間為t₁，則有：

1

2

×

Uq

md

t

2 1

=d
解得：
t₁=

2md2 qU

；
AA₁間做勻速直線運動，AA₁間的距離為R-0.8R，則時間為：
t2=

0.2R

v0

=

R

5

m  2qU

而在磁場中的時間由：t₃=

90

360

×

2πm

Bq

=0.7πR

m  2qU

；
故總時間t=t₁+t₂=（2d+0.2R+0.7πR）

m  2qU

答：（1）初速度為

2Uq m

；
（2）磁感應強度為

5

7R

Um q

；
（3）總時間為（2d+0.2R+0.7πR）

m  2qU

點評：本題中粒子先在電場中做加速直線運動，后做直線運動，最后做勻速圓周運動．由運動學公式或動能定理可求得末速度及時間；而在磁場中做圓周運動，確定圓心和半徑為解題的關鍵．