Question

9．某飛行器在20000m高度水平勻速飛行，防空系統(tǒng)啟動(dòng)質(zhì)量m=100kg的防空導(dǎo)彈，導(dǎo)彈的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)在制導(dǎo)系統(tǒng)控制下豎直向下噴氣，使導(dǎo)彈由靜止以a=10g（g=10m/s²）的加速度豎直向上勻加速上升至5000m高度，噴氣方向變?yōu)榕c豎直方向成θ角（cosθ=$\frac{1}{11}$）斜向下，導(dǎo)彈做曲線運(yùn)動(dòng)，直至擊中該飛行器．假設(shè)導(dǎo)彈飛行過(guò)程中火箭推力大小恒定，且不考慮導(dǎo)彈質(zhì)量變化及空氣阻力，導(dǎo)彈可視為質(zhì)點(diǎn)，試求：
（1）火箭噴氣產(chǎn)生的推力大��；
（2）導(dǎo)彈從發(fā)射到擊中該飛行器所用的時(shí)間及水平位移的大小．（計(jì)算結(jié)果可以用分?jǐn)?shù)和根式表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求火箭噴氣產(chǎn)生的推力．
（2）導(dǎo)彈先豎直向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，由位移公式求出此過(guò)程的時(shí)間．噴氣方向變?yōu)榕c豎直方向成θ角（cosθ=$\frac{1}{11}$）斜向下后導(dǎo)彈做曲線運(yùn)動(dòng)，由于Fcosθ=mg，說(shuō)明導(dǎo)彈豎直方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，再求出勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而得到總時(shí)間．在升至5000m高空后，導(dǎo)彈在豎直方向做勻速運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和速度公式結(jié)合求出導(dǎo)彈擊中敵機(jī)時(shí)水平分速度，再求水平位移．

解答 解：（1）對(duì)導(dǎo)彈，由牛頓第二定律得：
F-mg=ma
解得火箭噴氣產(chǎn)生的推力為：
F=m（g+a）=100×（10+100）N=11mg=1.1×10⁴N
（2）導(dǎo)彈豎直向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，有
  h₁=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$，得 t₁=$\sqrt{\frac{2{h}_{1}}{a}}$=$\sqrt{\frac{2×5000}{10×10}}$s=10s
由于推力改變方向后，由于 Fcosθ=11mg×$\frac{1}{11}$=mg
所以導(dǎo)彈在豎直方向上作勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
  t₂=$\frac{H-{h}_{1}}{{v}_{y}}$
又 v_y=at₁=100×10=1000m/s，H=20000m
聯(lián)立解得 t₂=15s
故t_總=t₁+t₂=25s
在5000m高處之后，導(dǎo)彈在豎直方向作勻速運(yùn)動(dòng)，水平方向作勻加速運(yùn)動(dòng)，則水平方向有：
Fsinθ=ma_x，sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{2\sqrt{30}}{11}$
解得：a_x=20$\sqrt{30}$m/s²；
導(dǎo)彈擊中飛機(jī)時(shí)水平位移為 x_x=$\frac{1}{2}$a_xt₂²=2250$\sqrt{30}$m
答：（1）火箭噴氣產(chǎn)生的推力大小是1.1×10⁴N；
（2）導(dǎo)彈從發(fā)射到擊中該飛行器所用的時(shí)間是25s，水平位移的大小是2250$\sqrt{30}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題是實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵要建立物理模型，簡(jiǎn)化過(guò)程，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究曲線運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式研究．