Question

3．蹦床比賽分成預備運動和比賽動作．最初，運動員靜止站在蹦床上在預備運動階段，他經(jīng)過若干次蹦跳，逐漸增加上升高度，最終達到完成比賽動作所需的高度；此后，進入比賽動作階段．把蹦床簡化為一個豎直放置的輕彈簧，彈力大小F=kx （x為床面下沉的距離，k為常量）．質量m=50kg的運動員靜止站在蹦床上，床面下沉x₀=0.10m；在預備運動中，假設運動員所做的總功W全部用于其機械能；在比賽動作中，把該運動員視作質點，其每次離開床面做豎直上拋運動的騰空時間均為△t=2.0s，設運動員每次落下使床面壓縮的最大深度均為x_l．取重力加速度g=10m/s²，忽略空氣阻力的影響．
（1）求常量k，并在圖中畫出彈力F隨x變化的示意圖；
（2）求在比賽動作中，運動員離開床面后上升的最大高度h_m；
（3）借助F-x圖象可以確定彈力做功的規(guī)律，在此基礎上，求x₁和W的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)胡克定律求出勁度系數(shù)，抓住彈力與形變量成正比，作出彈力F隨x變化的示意圖；
（2）根據(jù)豎直上拋運動的對稱性，求出人在空中下落的時間，根據(jù)自由落體運動的位移時間公式求出運動員離開床面后上升的最大高度；
（3）根據(jù)圖線圍成的面積表示彈力做功，得出彈力做功的表達式，根據(jù)動能定理求出彈力做功，從而求出x₁的值．

解答 解：（1）床面下沉x₀=0.1m時，運動員受力平衡，有：mg=kx₀，
代入數(shù)據(jù)解得：k=5×10³N/m．
F-x圖線如圖所示．
（2）運動員從x=0處離開床面，開始騰空，
由運動的對稱性知其上升、下落的時間相等，有：h_m=$\frac{1}{2}$g$（\frac{△t}{2}）^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：h_m=5.0m．
（3）參照由速度時間圖線求位移的方法可知F-x圖線下的面積等于彈力做的功，從x處到x=0處，彈力做的功為：W_T=$\frac{1}{2}$kx²，
運動員從x₁處上升到最大高度h_m的過程，根據(jù)動能定理可得：$\frac{1}{2}$kx₁²-mg（x₁+h_m）=0，
代入數(shù)據(jù)解得：x₁=1.1m
對整個預備運動過程分析，由題設條件以及功和能的關系，有：W+$\frac{1}{2}$kx₀²=mg（x₀+h_m）
代入數(shù)據(jù)解得：W=2525J．
答：（1）常量k為5×10³N/m，彈力F隨x變化的示意圖如圖所示；
（2）運動員離開床面后上升的最大高度為5.0m；
（3）x₁的值為1.1m；W的值為2525J．

點評 解決本題的關鍵知道運動員在整個過程中的運動情況，結合運動學公式、動能定理等知識進行求解．