Question

（2013?開封一模）在原子核物理中，研究核子與核關聯(lián)的最有效途徑是“雙電荷交換反應”．這類反應的前半部分過程和下述力學模型類似．兩個小球A和B用輕質彈簧相連，在光滑的水平直軌道上處于靜止狀態(tài)．在它們左邊有一垂直于軌道的固定擋板P，右邊有一小球C沿軌道以速度v₀．射向B球，如圖所示．C與B發(fā)生碰撞并立即結成一個整體D．在它們繼續(xù)向左運動的過程中，當彈簧長度變到最短時，長度突然被鎖定，不再改變．然后，A球與擋板P發(fā)生碰撞，碰后A、D都靜止不動，A與P接觸而不粘連．過一段時間，突然解除鎖定（鎖定及解除鎖定均無機械能損失）．已知A、B、C三球的質量均為m．
（i）求彈簧長度剛被鎖定后A球的速度．
（ii）求在A球離開擋板P之后的運動過程中，彈簧的最大彈性勢能．

Answer 1

分析：（i）C球與B球粘連成D時由動量守恒定律列出等式，當彈簧壓縮至最短時，D與A的速度相等由動量守恒定律解答彈簧長度剛被鎖定后A球的速度．
（ii）彈簧長度被鎖定后由能量守恒列出等式，解除鎖定后，當彈簧剛恢復自然長度時，勢能全部轉變成D的動能由能量守恒和動量守恒定律列出等式求解．

解答：解：（i）設C球與B球發(fā)生碰撞并立即結成一個整體D時，D的速度為v₁，由動量守恒有：
mv₀=（m+m）v₁… ①
當彈簧壓縮至最短時，D與A的速度相等，設此速度為v₂，由動量守恒有：
2mv₁=3mv₂… ②
由①②兩式得A的速度為：v₂=

1

3

v0
（ii）設彈簧長度被鎖定后，貯存在彈簧中的勢能為E_p，由能量守恒有：

1

2

?2mv

2 1

=

1

2

?3m

v

2 2

+E_p
撞擊P后，A與D的動能都為零，解除鎖定后，當彈簧剛恢復到自然長度時，勢能全部轉變成D的動能，設D的速度為v₃，
則有：E_p=

1

2

(2m)

v

2 3

以后彈簧伸長，A球離開檔板P，并獲得速度，當A、D的速度相等時，彈簧伸至最長．
設此時的速度為v₄，由動量守恒定律得：2mv₃=3mv₄
當彈簧伸到最長時，其勢能最大，設此勢能為E_P′，
由能量守恒定律得：

1

2

(2m)

v

2 3

=

1

2

(3m)

v

2 4

+E_P′，
由以上各式解得：E_P′=

1

36

m

v

2 0

答：（i）彈簧長度剛被鎖定后A球的速度為

1

3

v0．
（ii）在A球離開擋板P之后的運動過程中，彈簧的最大彈性勢能是

1

36

m

v

2 0

．

點評：本題主要考查了動量守恒定律及能量守恒定律的應用，關鍵要知道當彈簧伸到最長時，其勢能最大．