Question

7．日常生活中，我們有時要用同樣長的兩根繩子掛一個物體，如圖1所示，如果繩子的最大拉力為F，物體受到的重力為G，你能否用向量的知識，分析繩子受到的拉力F₁的大小與兩繩子之間的夾角θ的關(guān)系．
（1）當(dāng)θ逐漸增大時|F₁|的大小怎樣變化，為什么？
（2）θ為何值時，|F₁|最小，最小是多少？
（3）θ=120°時，求|F₁|；
（4）如果繩子能承受的最大拉力為588N，|G|=882N，那么θ在什么范圍內(nèi)取值時，繩子才不會斷？
（參考數(shù)據(jù)：取cos41°≈0.75，cos82°≈0.125）

Answer 1

分析 熟悉力的合成以及平行四邊形定則，利用數(shù)學(xué)三角函數(shù)的關(guān)系找出拉力大小|F₁|與重力G的關(guān)系進行解答．

解答 解：對物體受力分析如右圖所示，由于兩根繩子同樣長，故F₁=F₂，拉力F₁的大小為|F₁|
（1）由共點力平衡關(guān)系可知，|F₁|的合力F=G
根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系可得，|F₁|=$\frac{\frac{G}{2}}{cos\frac{θ}{2}}$
而θ的變化范圍是0°≤θ≤180°，故$0°≤\frac{θ}{2}≤90°$
θ逐漸增大時，cos$\frac{θ}{2}$逐漸減小，|F₁|將逐漸增大
故當(dāng)θ逐漸增大時，|F₁|的大小隨θ的增大而增大．
（2）由|F₁|=$\frac{\frac{G}{2}}{cos\frac{θ}{2}}$知，cos$\frac{θ}{2}$取最大值時，此時|F₁|最小
cos$\frac{θ}{2}$最大可以取1，此時θ為0°，這時|F₁|最小為$\frac{G}{2}$．
（3）將θ=120°代入公式|F₁|=$\frac{\frac{G}{2}}{cos\frac{θ}{2}}$
 可得，|F₁|=G．
（4）由|F₁|=$\frac{\frac{G}{2}}{cos\frac{θ}{2}}$知，
$cos\frac{θ}{2}=\frac{\frac{G}{2}}{{F}_{1}}$$cos\frac{θ}{2}=\frac{\frac{1}{2}G}{|{F}_{1}|}$，將|F₁|=588N，|G|=822N代入，此時θ取最大值
可得cos$\frac{θ}{2}$=0.75，則$\frac{θ}{2}=41°$，故θ最大值為82°
故0°≤θ≤82°范圍內(nèi)，繩子才不會斷．

點評 題目難度不大，關(guān)鍵在于找出繩子拉力|F₁|與物體重力G的關(guān)系，利用有關(guān)數(shù)學(xué)三角函數(shù)關(guān)系進行分析．對有關(guān)三角函數(shù)關(guān)系要熟悉