Question

14．一個(gè)半徑為R的豎直固定的光滑圓環(huán)上套有一個(gè)質(zhì)量為m的小球，一根輕彈簧上端固定在圓環(huán)的圓心處，下端固定在小球上，在圓環(huán)的最低處給小球水平向右的大小為$\sqrt{6Rg}$的初速度，此時(shí)圓環(huán)恰好對(duì)小球沒(méi)有彈力，已知重力加速度為g，下列說(shuō)法正確的是（　　）

• A． 小球在圓環(huán)最低點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈力大小為mg
• B． 小球在圓環(huán)最高點(diǎn)時(shí)圓環(huán)對(duì)小球的彈力大小為7mg
• C． 小球在圓環(huán)的最高點(diǎn)時(shí)彈簧的彈力比小球在最低點(diǎn)時(shí)的小
• D． 小球經(jīng)過(guò)圓環(huán)的最高點(diǎn)的速度大小為$\sqrt{2gR}$

Answer 1

分析 對(duì)小球在最低點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律求得彈簧彈力，然后由機(jī)械能守恒求得在最高點(diǎn)的速度，在應(yīng)用牛頓第二定律求得支持力．

解答 解：記彈簧彈力為F，圓環(huán)對(duì)小球的支持力為F_N，小球在最低點(diǎn)的速度為v₀，在最高點(diǎn)的速度為v；
A、小球在最低點(diǎn)時(shí)圓環(huán)恰好對(duì)小球沒(méi)有彈力，那么小球只受彈簧彈力和重力作用，故由牛頓第二定律可得：$F-mg=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{R}=6mg$，
所以，小球在圓環(huán)最低點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈力大小F=7mg，故A錯(cuò)誤；
C、小球在圓環(huán)上，彈簧的長(zhǎng)度始終為半徑，故彈簧的形變量不變，那么，小球在圓環(huán)的最高點(diǎn)時(shí)彈簧的彈力等于小球在最低點(diǎn)時(shí)的，故C錯(cuò)誤；
D、小球在圓環(huán)上運(yùn)動(dòng)時(shí)只有重力做功，故機(jī)械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{v}^{2}$，所以，小球經(jīng)過(guò)圓環(huán)的最高點(diǎn)的速度大小$v=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}-4gR}=\sqrt{2gR}$，故D正確；
B、由牛頓第二定律可得：小球在最高點(diǎn)時(shí)的合外力為$\frac{m{v}^{2}}{R}=2mg$，那么，對(duì)小球進(jìn)行受力分析可得：F+mg-F_N=2mg，
所以，小球在圓環(huán)最高點(diǎn)時(shí)圓環(huán)對(duì)小球的彈力大小F_N=6mg，故B錯(cuò)誤；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．