Question

12．CD、EF是水平放置的電阻可忽略的光滑平行金屬導(dǎo)軌，兩導(dǎo)軌距離水平地面高度為H，導(dǎo)軌間距離為L，在水平導(dǎo)軌區(qū)域存在磁感強(qiáng)度方向垂直導(dǎo)軌平面向上的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)（磁場(chǎng)區(qū)域?yàn)镃PQE），磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，如圖所示，導(dǎo)軌左端與一彎曲的光滑軌道平滑連接，彎曲的光滑軌道的上端接有一電阻R，將一阻值也為R的導(dǎo)體棒從彎曲軌道上距離水平金屬導(dǎo)軌高度h處由靜止釋放，導(dǎo)體棒最終通過磁場(chǎng)區(qū)域落在水平地面上距離水平導(dǎo)軌最右端水平距離x處．已知導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌始終接觸良好，重力加速度為g，求：
（1）電阻R中的最大電流和整個(gè)電流中產(chǎn)生的焦耳熱；
（2）磁場(chǎng)區(qū)域的長度d．

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能守恒定律計(jì)算進(jìn)入磁場(chǎng)的速度大小，再根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路的歐姆定律求解電流強(qiáng)度；根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)計(jì)算平拋運(yùn)動(dòng)的初速度，再根據(jù)能量守恒定律計(jì)算整個(gè)電路中產(chǎn)生的焦耳熱；
（2）由牛頓第二定律得到安培力與加速度關(guān)系，利用微元法求解磁場(chǎng)區(qū)域的長度．

解答 解：（1）由題意可知，導(dǎo)體棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)的瞬間速度最大，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大，感應(yīng)電流最大，
由機(jī)械能守恒定律有$mgh=\frac{1}{2}mv_1^2$
解得${v_1}=\sqrt{2gh}$
由法拉第電磁感應(yīng)定律得E=BLv₁
由閉合電路歐姆定律得$I=\frac{E}{2R}$，
聯(lián)立解得$I=\frac{{BL\sqrt{2gh}}}{2R}$
由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得$\left.\begin{array}{l}{x={v}_{2}t}\end{array}\right.$，$H=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得${v_2}=x\sqrt{\frac{g}{2H}}$
由能量守恒定律可知整個(gè)電路中產(chǎn)生的焦耳熱為$Q=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_2^2=mgh-\frac{{mg{x^2}}}{4H}$；
（2）導(dǎo)體棒通過磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)在安培力作用下做變速運(yùn)動(dòng)．由牛頓第二定律，BIL=ma，
$a=\frac{△v}{△t}$，
$I=\frac{BLv}{2R}$，
聯(lián)立解得$\frac{{{B^2}{L^2}}}{2R}v△t=m△v$
兩邊求和$\frac{{{B^2}{L^2}}}{2R}\sum_{\;}^{\;}{v△t=m\sum_{\;}^{\;}{△v}}$$\sum_{\;}^{\;}{v△t=d，\sum_{\;}^{\;}{△v={v_1}-{v_2}}}$
聯(lián)立解得$d=\frac{2mR}{{{B^2}{L^2}}}（\sqrt{2gh}-x\sqrt{\frac{g}{2H}}）$．
答：（1）電阻R中的最大電流為$\frac{BL\sqrt{2gh}}{2R}$，整個(gè)電流中產(chǎn)生的焦耳熱為$mgh-\frac{mg{x}^{2}}{4H}$；
（2）磁場(chǎng)區(qū)域的長度為$\frac{2mR}{{B}^{2}{L}^{2}}（\sqrt{2gh}-x\sqrt{\frac{g}{2H}}）$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．