Question

12．CD、EF是水平放置的電阻可忽略的光滑平行金屬導軌，兩導軌距離水平地面高度為H，導軌間距離為L，在水平導軌區(qū)域存在磁感強度方向垂直導軌平面向上的有界勻強磁場（磁場區(qū)域為CPQE），磁感應強度大小為B，如圖所示，導軌左端與一彎曲的光滑軌道平滑連接，彎曲的光滑軌道的上端接有一電阻R，將一阻值也為R的導體棒從彎曲軌道上距離水平金屬導軌高度h處由靜止釋放，導體棒最終通過磁場區(qū)域落在水平地面上距離水平導軌最右端水平距離x處．已知導體棒與導軌始終接觸良好，重力加速度為g，求：
（1）電阻R中的最大電流和整個電流中產(chǎn)生的焦耳熱；
（2）磁場區(qū)域的長度d．

Answer 1

分析 （1）由機械能守恒定律計算進入磁場的速度大小，再根據(jù)法拉第電磁感應定律和閉合電路的歐姆定律求解電流強度；根據(jù)平拋運動的知識計算平拋運動的初速度，再根據(jù)能量守恒定律計算整個電路中產(chǎn)生的焦耳熱；
（2）由牛頓第二定律得到安培力與加速度關系，利用微元法求解磁場區(qū)域的長度．

解答 解：（1）由題意可知，導體棒剛進入磁場的瞬間速度最大，產(chǎn)生的感應電動勢最大，感應電流最大，
由機械能守恒定律有$mgh=\frac{1}{2}mv_1^2$
解得${v_1}=\sqrt{2gh}$
由法拉第電磁感應定律得E=BLv₁
由閉合電路歐姆定律得$I=\frac{E}{2R}$，
聯(lián)立解得$I=\frac{{BL\sqrt{2gh}}}{2R}$
由平拋運動規(guī)律可得$\left.\begin{array}{l}{x={v}_{2}t}\end{array}\right.$，$H=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得${v_2}=x\sqrt{\frac{g}{2H}}$
由能量守恒定律可知整個電路中產(chǎn)生的焦耳熱為$Q=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_2^2=mgh-\frac{{mg{x^2}}}{4H}$；
（2）導體棒通過磁場區(qū)域時在安培力作用下做變速運動．由牛頓第二定律，BIL=ma，
$a=\frac{△v}{△t}$，
$I=\frac{BLv}{2R}$，
聯(lián)立解得$\frac{{{B^2}{L^2}}}{2R}v△t=m△v$
兩邊求和$\frac{{{B^2}{L^2}}}{2R}\sum_{\;}^{\;}{v△t=m\sum_{\;}^{\;}{△v}}$$\sum_{\;}^{\;}{v△t=d，\sum_{\;}^{\;}{△v={v_1}-{v_2}}}$
聯(lián)立解得$d=\frac{2mR}{{{B^2}{L^2}}}（\sqrt{2gh}-x\sqrt{\frac{g}{2H}}）$．
答：（1）電阻R中的最大電流為$\frac{BL\sqrt{2gh}}{2R}$，整個電流中產(chǎn)生的焦耳熱為$mgh-\frac{mg{x}^{2}}{4H}$；
（2）磁場區(qū)域的長度為$\frac{2mR}{{B}^{2}{L}^{2}}（\sqrt{2gh}-x\sqrt{\frac{g}{2H}}）$．

點評 對于電磁感應問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點是分析安培力作用下導體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動能定理、功能關系等列方程求解．