Question

【題目】如圖所示是一皮帶傳輸裝載機械示意圖。井下挖掘工將礦物無初速放置于沿圖示方向運行的傳送帶A端，被傳輸到末端B處，再沿一段豎直面內的圓形軌道后，從軌道的最高點C處水平拋出到貨臺（圖中未畫出）上。已知圓形軌道的半徑為R＝0.5m，與傳送帶在B點相切，O點為圓心，BO、CO分別為圓形軌道的半徑，礦物視作質點，傳送帶與水平面間的夾角θ＝37O，礦物與傳送帶間的動摩擦因數μ＝0.8，傳送帶勻速運行的速度為v0＝8m/s，傳送帶A、B點間的長度為L＝45m。如果礦物被傳送到B點后沿圓形軌道運動，恰好能通過最高點C，礦物質量m＝50kg，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g取10m/s2，不計空氣阻力。求：

（1）礦物被傳到B點時的速度大小。

（2）礦物由B點到達C點的過程中，克服摩擦阻力所做的功。

（3）由于運送這塊礦物而使電動機多輸出的機械能。

Answer 1

【答案】（1）6m/s（2）325J（3）38400J

【解析】

先假設礦物在AB段始終加速，根據動能定理求出礦物到達B點時的速度大小，將此速度與送帶勻速運行的速度v0=8m/s進行比較，確定假設是否合理；礦物被傳送到B點后沿圓形軌道運動恰好能通過最高點C，說明重力提供向心力，根據牛頓第二定律求得在C點的速度；礦物由B到C過程中，重力和阻力做功，由動能定理求解克服阻力所做的功；帶動傳送帶的電機要多輸出的機械能等于滑塊機械能的增加量與摩擦生熱的和；

(1)假設礦物在AB段始終處于加速狀態(tài)，由動能定理可得：

代入數據得

由于，故假設成立，礦物到B處時的速度為6m/s

(2)設礦物通過軌道最高點C處時的速度為vC，由牛頓第二定律有

對礦物由B到C過程，由動能定理有

解聯立方程并代入數據可得礦物由B點到達C點的過程中，摩擦阻力所做的功為

所以克服摩擦阻力做功為

(3) 礦物在AB段運動時間為

傳送帶與物體運動的相對位移

摩擦生熱

帶動傳送帶的電機要多輸出的能量等于滑塊機械能的增加量與摩擦生熱的和，則有：