Question

7．中國(guó)第一顆探月衛(wèi)星“嫦娥一號(hào)”探月成功，使“嫦娥奔月”的神話成為的現(xiàn)實(shí)．為了方便研究，我們將“嫦娥奔月”的過(guò)程簡(jiǎn)化為：“嫦娥一號(hào)”升空后，首先進(jìn)入周期為T₁的近地圓軌道，然后在地面的指令下經(jīng)過(guò)一系列的變軌后最終被月球捕獲，在距離月球表面為h的軌道上繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知地球質(zhì)量為M₁，半徑為R₁，月球質(zhì)量為M₂，半徑為R₂．
（1）求“嫦娥一號(hào)”繞月球運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期T₂，
（2）求月球表面重力加速度g_月與地球表面處重力加速度g的比．
（3）若要使質(zhì)量為m的“嫦娥一號(hào)”從距離月球h高的圓軌道上變軌，運(yùn)行到接近月球表面的圓形軌道上，并繞月做圓周運(yùn)動(dòng)，則求此過(guò)程合外力對(duì)“嫦娥一號(hào)”做的功．（最終結(jié)果用題目中的物理量來(lái)表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供近月衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得嫦娥一號(hào)衛(wèi)星的繞月周期；
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力與重力相等求得星球表面重力加速度的表達(dá)式，再根據(jù)星球的質(zhì)量與半徑關(guān)系求得重力加速度之比；
（3）根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，分別求得嫦娥一號(hào)在兩個(gè)軌道上運(yùn)動(dòng)的速度大小，根據(jù)動(dòng)能定理求得合外力對(duì)嫦娥一號(hào)做的功．

解答 解：（1）“嫦娥一號(hào)”在近地空間運(yùn)行時(shí)，有：$G\frac{{{M_1}m}}{R_1^2}=m{（\frac{2π}{T_2}）^2}{R_1}$
“嫦娥一號(hào)”繞月球運(yùn)行時(shí)，有：$G\frac{{{M_2}m}}{{{{（{R_2}+h）}^2}}}=m{（\frac{2π}{T_2}）^2}（{R_2}+h）$
解得：${T_2}=\frac{{{T_1}（{R_2}+h）}}{R_1}\sqrt{\frac{{{M_1}（{R_2}+h）}}{{{M_2}{R_1}}}}$$\frac{{T}_{1}（{R}_{2}+h）}{{R}_{1}}\sqrt{\frac{{M}_{1}（{R}_{2}+h）}{{M}_{2}{R}_{1}}}$
（2）星球表面重力與萬(wàn)有引力相等有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$，可得g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
所以：$\frac{{g}_{月}}{{g}_{地}}=\frac{G\frac{{M}_{2}}{{R}_{2}^{2}}}{G\frac{{M}_{1}}{{R}_{1}^{2}}}$=$\frac{{M}_{2}{R}_{1}^{2}}{{M}_{1}{R}_{2}^{2}}$
（3）嫦娥一號(hào)在離月球表面h處圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)萬(wàn)有引力提供向心力有：
$G\frac{m{M}_{2}}{（{R}_{2}+h）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}+h}$
得嫦娥一號(hào)的動(dòng)能${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m•\frac{G{M}_{2}}{{R}_{2}+h}$
在近月軌道上，萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$G\frac{m{M}_{2}}{{R}_{2}^{2}}=m\frac{v{′}^{2}}{{R}_{2}}$
得嫦娥一號(hào)此時(shí)動(dòng)能為${E}_{k}′=\frac{1}{2}mv{′}^{2}=\frac{1}{2}m•\frac{G{M}_{2}}{{R}_{2}^{2}}$
根據(jù)動(dòng)能定理可知，此過(guò)程中合外力對(duì)嫦娥一號(hào)做的功等于嫦娥一號(hào)動(dòng)能的變化，故有：
W_合=E_k′-E_k=$\frac{1}{2}m[\frac{G{M}_{2}}{{R}_{2}^{2}}-\frac{G{M}_{2}}{（{R}_{2}+h）^{2}}]$
答：（1）“嫦娥一號(hào)”繞月球運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期T₂為$\frac{{T}_{1}（{R}_{2}+h）}{{R}_{1}}\sqrt{\frac{{M}_{1}（{R}_{2}+h）}{{M}_{2}{R}_{1}}}$；
（2）月球表面重力加速度g_月與地球表面處重力加速度g的比為$\frac{{M}_{2}{R}_{1}^{2}}{{M}_{1}{R}_{2}^{2}}$；
（3）若要使質(zhì)量為m的“嫦娥一號(hào)”從距離月球h高的圓軌道上變軌，運(yùn)行到接近月球表面的圓形軌道上，并繞月做圓周運(yùn)動(dòng)，求此過(guò)程合外力對(duì)“嫦娥一號(hào)”做的功為$\frac{1}{2}m[\frac{G{M}_{2}}{{R}_{2}^{2}}-\frac{G{M}_{2}}{（{R}_{2}+h）^{2}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用，注意對(duì)于環(huán)繞天體萬(wàn)有引力提供其圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，注意環(huán)繞天體半徑與星球半徑及離地高度的關(guān)系是正確解題的關(guān)鍵．