Question

（2011?寶坻區(qū)一模）神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．天文學(xué)家觀測(cè)河外星系麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX-3雙星系統(tǒng)，它由可見(jiàn)星A和不可見(jiàn)的暗星B構(gòu)成，兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其它天體的影響，A、B圍繞兩者的連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖所示，引力常量為G，由觀測(cè)能夠得到可見(jiàn)星A的速率v和運(yùn)行周期T．
（1）可見(jiàn)星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m'的星體（視為質(zhì)點(diǎn)）對(duì)它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m₁、m₂．試求m′（用m₁、m₂表示）
（2）求暗星B的質(zhì)量m₂與可見(jiàn)星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m₁之間的關(guān)系式．

Answer 1

分析：雙星系統(tǒng)構(gòu)成的條件是雙星的角速度相同，依靠它們之間的萬(wàn)有引力提供各自的向心力．由于兩星球的加速度不同，必須采用隔離法運(yùn)用牛頓定律分別對(duì)兩星球研究，并通過(guò)數(shù)學(xué)變形求解．

解答：解：（1）設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為r₁、r₂，由題意知，A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，其為ω．
由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，
對(duì)A：F_A=m₁ω²r₁  對(duì)B：F_B=m₂ω²r₂                F_A=F_B
設(shè)A、B之間的距離為r又r=r₁+r₂，由上述各式得r=

m1+m2

m2

r1①
由萬(wàn)有引力定律，有F_A=G

m1m2

r2

將①代入得FA=G

m1 m 3 2

(m1+m2)2r2

令FA=G

m1m′

r12

比較可得m′=

m 3 2

(m1+m2)2

②
（2）根據(jù)題意，可見(jiàn)星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m'的星體對(duì)它的引力，由牛頓第二定律，有G

m1m′

r12

=m1

v2

r1

③
得  m′=

r1v2

G

④
又可見(jiàn)星A的線速度大小v=

2πr1

T

⑤
由④⑤得，m′=

v3T

2πG

由②⑤可得

m 3 2

(m1+m2)2

=

v3T

2πG

答：（1）O點(diǎn)處星體質(zhì)量為m′為

m 3 2

(m1+m2)2

．
    （2）暗星B的質(zhì)量m₂與可見(jiàn)星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m₁之間的關(guān)系式為

v3T

2πG

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題關(guān)鍵要建立物理模型．雙星問(wèn)題與人造地球衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)模型不同，兩星都繞著它們之間連線上的一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，雙星、圓心始終“三點(diǎn)”一線．