Question

如圖所示，間距為L的兩條足夠長的平行金屬導(dǎo)軌MN，PQ與水平面夾角為a，導(dǎo)軌的電阻不計(jì)，導(dǎo)軌的N、P端連接一阻值為R的電阻，導(dǎo)軌置于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向與導(dǎo)軌平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．將一根質(zhì)量為m、電阻為r的導(dǎo)體棒垂直放在導(dǎo)軌上，導(dǎo)體棒ab恰能保持靜止．現(xiàn)給導(dǎo)體棒一個(gè)大小為v₀、方向沿導(dǎo)軌平面向下的初速度，然后任其運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持與導(dǎo)軌垂直并接觸良好．設(shè)導(dǎo)體棒所受滑動(dòng)摩擦力與最大靜摩擦力大小相等，求：
（1）導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上移動(dòng)的最大距離．

Answer 1

分析：（1）由于導(dǎo)體棒剛能在導(dǎo)軌上保持靜止，根據(jù)導(dǎo)軌處于平衡狀態(tài)，可正確求解．
（2）由于重力沿導(dǎo)軌向下的分力等于摩擦力，因此導(dǎo)體棒在安培力作用下減速運(yùn)動(dòng)，克服安培力做功為整個(gè)回路中產(chǎn)生的焦耳熱，然后根據(jù)電阻的串聯(lián)可求出R上產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）本問有一定的難度，由于導(dǎo)體棒做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)，其加速度是變化的，因此不能用勻變速運(yùn)動(dòng)知識(shí)解答，可以通過微積分思想進(jìn)行解答，如在極短的時(shí)間內(nèi)安培力可以認(rèn)為不變，利用動(dòng)量定理列方程，然后根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求解．

解答：解：（1）導(dǎo)體棒處于平衡狀態(tài)，由受力平衡得
mgsinα=μmgcosα      ①
解得動(dòng)摩擦因數(shù)：μ=tanα    ②
故導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=tanα．
（2）導(dǎo)體棒在安培力作用下減速運(yùn)動(dòng)，最后靜止在導(dǎo)軌上，且摩擦力所做的功和重力所做的功相等，故由能量守恒定律得整個(gè)電路中的焦耳熱
Q=

1

2

m

v

2 0

    ③
由電路知識(shí)得電阻r和R串聯(lián)電流時(shí)刻相等，故電阻R上的熱量
QR=

R

R+r

Q=

mR v 2 0

2(R+r)

   ④
故在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為：QR=

mR v 2 0

2(R+r)

．
（3）設(shè)導(dǎo)體棒在減速中的某一時(shí)刻速度為υ，取一極短時(shí)間△t，發(fā)生了一段極小的位移△x，在△t時(shí)間內(nèi)，磁通量的變化量為△Φ，則有：
△Φ=BL△x   ⑤
電路中的電流：I=

E

r+R

=

△Φ

(R+r)△t

   ⑥
導(dǎo)體棒受到的安培力：F=BIL   ⑦
△t很小，則安培力為恒力，選沿斜面方向?yàn)檎�方向，由�?dòng)量定理
-F△t=m△v   ⑧
聯(lián)立⑤⑥⑦⑧解得：-

B2L2△x

(R+r)

=m△v    ⑨
對(duì)⑨式兩邊求和有：∑( -

B2L2△x

(R+r)

) =∑(m△v)   ⑩
解得導(dǎo)體棒下滑的總距離：x=∑△x=

m(R+r)

B2L2

∑△v=

mv0(R+r)

B2L2

故導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上移動(dòng)的最大距離為：x=

mv0(R+r)

B2L2

．

點(diǎn)評(píng)：注意克服安培力做功為整個(gè)回路中產(chǎn)生的熱量；本題的難點(diǎn)在于第（3）問，方法巧妙，在平時(shí)練習(xí)中一定注意數(shù)學(xué)知識(shí)在物理中的應(yīng)用．